циально необозначенные, так как для решения вопроса о том, является ли заданное включение согласным или встречным, достаточно обозначить одну пару одноимен ных зажимов. На рис. 2.50, б точками указаны одноименные зажимы 1 и 2'.

Аналогично поступают и при построении схем замещения электрических цепей с взаимными индуктивностями. Условное графическое изображение связанных ин дуктивностей, используемое при построении таких схем, показано на рис. 2.51, а и б. Когда общим магнитным потоком связано не две, а большее число индуктивностей, одноименные зажимы каждой из пар обозначают с помощью различных значков

(рис. 2.51, в).

Рис. 2.51. Условные графические изображения связанных индуктивностей

Таким образом, если токи связанных индуктивностей одинаково ориентирова ны относительно одноименных зажимов, то такое включение является согласным и в выражениях (2.165) следует взять знак плюс; в противном случае включение явля ется встречным и необходимо использовать знак минус (величина М при этом счи тается положительной). Например, индуктивности L1 и L2 на рис. 2.51, а и L1 и L2 на рис. 2.51, в включены согласно, а индуктивности L2 и L3, L1 и L3 (рис. 2.51, в) — встречно.

Коэффициент связи между индуктивными катушками

Из качественного рассмотрения процессов в связанных индуктивных катушках следует, что чем сильнее связаны катушки, т. е. чем большая часть магнитного пото ка, создаваемого током каждой из них, пронизывает другую катушку, тем выше вза имная индуктивность. Однако при этом неясно, как связана взаимная индуктив ность с индуктивностями катушек и чем определяется максимально возможное значение М. Введем новую величину, количественно характеризующую степень свя зи между катушками, — коэффициент связи. Коэффициент связи представляет со бой среднее геометрическое отношений потока взаимоиндукции к потоку самоин дукции для каждой из катушек, образующих пару связанных катушек:

. 2.167

196

Представляя магнитный поток самоиндукции каждой катушки в виде суммы потока рассеяния этой катушки и потока взаимоиндукции другой катушки (2.156), получаем

. 2.168

Из выражения (2.168) следует, что значения коэффициента связи лежат в пре делах

равны нулю, или, другими словами, когда магнитный поток, создаваемый током од ной катушки, полностью пронизывает другую катушку. Коэффициент связи зависит от конструкции катушек и на практике всегда kM < 1.

Коэффициент связи kM можно выразить через индуктивности cвязанных ка тушек и их взаимную индуктивность. Подставляя в (2.167) выражения для потоков самоиндукции Ф11, Ф22 и взаимоиндукции Ф12, Ф21, полученные из (2.162), (2.163), на ходим

,

откуда

. 2.170

Из выражения (2.170) с учетом (2.169) можно определить пределы, в которых изменяется взаимная индуктивность:

Таким образом, максимальное значение взаимной индуктивности катушек не может превышать среднего геометрического их индуктивностей.

Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии

Для анализа цепей с взаимной индуктивностью при гармоническом воздейст вии можно воспользоваться изученным ранее методом комплексных амплитуд. Пе реходя в выражениях (2.165) от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным изображениям и принимая во внимание, что дифференцированию гармонических функций времени соответствует умножение их изображений на jω, получаем компонентные уравнения связанных индуктивностей в комплексной форме:

197

Рис. 2.52. К примеру 2.17

Схема замещения рассматриваемой цепи для комплексных токов и напряжений изображена на рис. 2.52, б. Основная система уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме имеет следующий вид:

0 ;

;

0 ;

;

1 ;

;

;

.

Выражая напряжения на всех элементах через соответствующие токи, получаем систему из трех уравнений для определения трех неизвестных токов 1, 2, 3:

199

где верхний знак (плюс) соответствует согласному включению, а нижний (минус) — встречному. Таким образом, при согласном включении связанных индуктивностей эквивалентная индуктивность получается больше, а при встречном — меньше, чем эквивалентная индуктивность участка цепи, содержащего последовательно вклю ченные несвязанные индуктивности.

На использовании выражения (2.177) основан простой метод измерения вза имной индуктивности, в соответствии с которым сначала производят измерение эк вивалентной индуктивности катушек при согласном Lэк согл = L1 + L2 + 2М и встреч ном Lэк встр = L1 + L2 ― 2M включениях, а затем по формуле М = (Lэксогл – Lэквстр )/4 рассчитывают М.

Рис. 2.54. Параллельное соединение связанных индуктивностей

При параллельном соединении связанных индуктивностей (рис. 2.54, а, б) к их зажимам прикладывается одинаковое напряжение u, а входной ток рассматриваемо го участка цепи равен сумме токов обеих индуктивностей:

; . 2.178

С учетом (2.178) и компонентных уравнений связанных индуктивностей (2.165) составляем систему уравнений

решая которую находим зависимость между напряжением и током на зажимах рас сматриваемого участка цепи:

В соответствии с (2.179) участок цепи, представляющий собой две параллельно включенные связанные индуктивности, обладает эквивалентной индуктивностью

(рис. 2.54, в)

201

Таким образом, все рассмотренные идеализированные двухполюсники, содер жащие связанные индуктивности, при любом воздействии могут быть заменены од ной индуктивностью L = Lэк. Комплексное сопротивление этих двухполюсников име ет чисто реактивный характер: эк

Найдем схему замещения участка цепи, содержащего две связанные индуктив ности, включенные таким образом, что они имеют одну общую точку (рис. 2.56, а, б). Используя в качестве исходных компонентные уравнения связанных индуктивно

Здесь, как и в полученных ранее выражениях, верхний знак соответствует со гласному, а нижний знак — встречному включению связанных индуктивностей.

Рис. 2.56. Связанные индуктивности с общей точкой: а — согласное включение; б — встреч ное включение; в — схема замещения без связанных индуктивностей

Системе (2.182) может быть поставлена в соответствие схема замещения уча стка цепи, не содержащая связанных индуктивностей (рис. 2.56, в). Анализ уравне ний (2.182) и схемы рис. 2.56, в показывает, что только при согласном включении и достаточно малом коэффициенте связи (M<L1, М<L2) все три индуктивности этой схемы положительны. При встречном включении или при согласном включении и большом коэффициенте связи (M>L1 или M>L2) одна из индуктивностей оказывается отрицательной. Очевидно, что такой схеме нельзя поставить в соответствие моде лирующую цепь, состоящую из идеализированных элементов — индуктивностей.

203