Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления

Модуль 3.1. Комплексные частотные характеристики линейных электриче ских цепей

Цель модуля: ознакомление с понятием комплексных частотных характери стик и изучение амплитудно частотных и фазо частотных характеристик простей ших цепей с одним реактивным элементом.

Понятие о комплексных частотных характеристиках

Задача анализа электрической цепи была сформулирована ранее как задача определения реакции цепи на заданное внешнее воздействие. Пусть для некоторой линейной электрической цепи это воздействие задано в виде токов и напряжений нескольких независимых источников тока и напряжения, а искомая реакция (от клик) цепи представляет собой совокупность токов или напряжений отдельных элементов (нагрузок). Вынесем из рассматриваемой цепи ветви, содержащие неза висимые источники тока и напряжения, а также ветви, токи или напряжения кото рых подлежат определению. Оставшуюся часть цепи, содержащую идеализирован ные пассивные элементы и, возможно, управляемые источники, представим в виде многополюсника (рис. 3.1, а).

Уточним понятия входов и выходов цепи. Входными будем называть пару за жимов (полюсов), к которым подключается каждый из независимых источников, за дающих внешнее воздействие на цепь. Зажимы, служащие для подключения нагруз ки, т. е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, назовем вы­ ходными.

Пары входных и выходных зажимов образуют соответственно входы и выходы цепи, точнее, входы и выходы многополюсника, который получается из цепи при

Рис. 3.1. К определению понятий входа и выхода цепи

219

вынесении из нее источников внешнего воздействия и нагрузок.

Деление зажимов на входные и выходные является в некоторое степени услов ным, так как одна и та же пара зажимов может одновременно быть и входной, и вы ходной (например, когда внешнее воздействие на цепь задается некоторым незави симым источником напряжения и требуется определить ток ветви, содержащей этот источник). В связи с этим наряду с понятиями входа и выхода в теории цепей широ ко используется понятие стороны многополюсника.

Стороной многополюсника или портом называется пара зажимов, которые служат входом, выходом или и входом, и выходом одновременно.

Из определений входных и выходных зажимов следуют важные особенности зажимов, образующих порт многополюсника:

1)ток, втекающий через один зажим порта, равен току, вытекающему через другой зажим этого же порта;

2)между парами полюсов, принадлежащих к разным портам, не должно быть никаких внешних по отношению к многополюснику соединений (внутри многополюс­ ника соединения естественно могут быть).

Зажимы, образующие одну сторону многополюсника, обозначим одинаковыми цифрами (со штрихом и без штриха) 1 — 1’, 2 — 2’,… n — n' (рис. 3.1). В зависимости от числа сторон различают односторонние, двусторонние и n сторонние многопо люсники.

Пусть внешнее воздействие на цепь задано только на одной паре полюсов ν— : x(t) = xv(t) и необходимо найти реакцию цепи также только на одной паре полю сов k — (рис. 3.1, б): s(t) = sk(t). Поскольку процессы на остальных полюсах в дан ном случае интереса не представляют, их можно не выделять из цепи. Исследуемую цепь удобно рассматривать как двусторонний четырехполюсник. Если ν = k, то цепь становится односторонней, т. е. превращается в двухполюсник (рис. 3.1, в).

Ограничимся рассмотрением случая гармонического внешнего воздействия; при этом от соотношений между мгновенными значениями реакции цепи sk(t) и внешнего воздействия xν(t) можно перейти к соотношениям между их комплексны ми изображениями.

По определению, комплексной частотной характеристикой (частотным ко­ эффициентом передачи) цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

220

чение внешнего воздействия; k— номер выходных зажимов; ν— номер входных за жимов.

Размерность комплексной частотной характеристики (КЧХ) равна отношению размерностей отклика цепи и внешнего воздействия. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в качестве откликов и внешних воздействий, КЧХ может иметь размерность сопротивления (внешнее воздействие

— iν, реакция цепи — uk), проводимости (внешнее воздействие — uv реакция цепи — ik) или быть безразмерной (внешнее воздействие —uv, реакция цепи — uk либо внешнее воздействие — iv, и реакция цепи — ik)

Как и всякое комплексное число, КЧХ цепи может быть записана в показатель

ной

3.2

или алгебраической

3.3

формах. Представляя комплексные изображения отклика и воздействия в показа тельной форме

и подставляя (3.4) в выражение (3.1), определяем модуль и аргумент КЧХ:

. 3.5

Таким образом, модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействии, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз отклика и внешнего воздействия.

и, следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи

единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Зависимости модуля Нkv(ω) и аргумента ψkv(ω) комплексной частотной харак теристики от частоты ω называются, соответственно, амплитудно­частотной (АЧХ) и фазо­частотной (ФЧХ) характеристиками цепи. Из сравнения выражений (3.2) и (3.6) следует, что АЧХ и ФЧХ цепи характеризуют зависимости от частоты, со

221

ответственно, амплитуды и начальной фазы отклика цепи на внешнее воздействие с Xmv = 1 и ψх=0. Таким образом, КЧХ сочетает в себе амплитудно частотную и фазо частотную характеристики цепи.

При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят отдельно АЧХ и ФЧХ либо изображают зависимости от частоты веще ственной Н’kv(ω) и мнимой H'’kv(ω) составляющих КЧХ, которые однозначно выра жаются через ψkv(ω) и Hkv(ω):

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной за висимости — годографа КЧХ, построенного в комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора Нkv(jω), соответствующих изменению частоты от ω = 0 до ω = ∞ (рис. 3.2). На годографе указывают точки, со ответствующие некоторым значениям частоты ω, и стрелкой показывают направ ление перемещения конца вектора Нkv(jω) при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить как об АЧХ и ФЧХ, так и о за висимости вещественной H'kv(ω) и мнимой H'’kv(ω ) составляющих КЧХ от частоты.

Годограф КЧХ иногда называют амплитудно­фазовой характеристикой цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и переда точные. Когда отклик и внешнее воздействие рассматриваются на одних и тех же зажимах цепи (рис. 3.1, в), КЧХ называется входной. Если отклик и внешнее воздей ствие задаются на разных зажимах цепи (рис. 3.1, б), КЧХ называется передаточной. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик.

Рис. 3.2. Годограф КЧХ цепи

222

плексными частотными характеристиками: комплексным входным сопротивлением и комплексной входной проводимостью. В связи с тем, что у данных элементов име ется только одна пара внешних выводов, нумерация выводов обозначениях КЧХ мо жет быть опущена.

Сопротивление. Комплексное входное сопротивление резистивного элемен та определяется выражением (см. модуль 2.3)

.

Модуль комплексного входного сопротивления zR(ω) и его аргумент φR(ω) не зависят от частоты:

; 0 ,

поэтому АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления имеют вид прямых ли ний с постоянной ординатой (рис. 3.3, а, б). Зависимости от частоты вещественной и мнимой составляющих комплексного входного сопротивления

; 0

представлены на рис. 3.4.

Рис. 3.3. АЧХ (а) и ФЧХ (б) комплексного сопротивления резистивного элемента

Рис. 3.4. Зависимости от частоты вещественной (а) и мнимой (б) составляющих ZR(jω)

224

Поскольку ZR(jω) не зависит от частоты, годограф входного сопротивления вырож дается в точку на комплексной плоскости (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Годограф ZR(jω)

Индуктивность. Из выражения для комплексного входного сопротивления индуктивности (см. модуль 2.3)

ZL(jω) = ZL = jωL = ωLe jπ/2 можно найти модуль комплексного входного сопро тивления zL(ω)=ωL, его аргумент φL(ω)=π/2 , а также вещественную (ω) = 0 и мни мую (ω) = ωL составляющие (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Зависимости от частоты вещественной (а) и мнимой (б) составляющих ZL(jω )

Из АЧХ и ФЧХ входного сопротивления индуктивности (рис. 3.7) видно, что мо дуль входного сопротивления индуктивности линейно возрастает с ростом частоты, а аргумент равен π/2 и не зависит от частоты.

Рис. 3.7. АЧХ (а) и ФЧХ (б) комплексного сопротивления индуктивного элемента

225

Так как комплексное входное сопротивление индуктивности является чисто мни мой величиной, то при изменении частоты конец вектора ZL(jω) перемещается вдоль положительной мнимой полуоси (рис. 3.8).

Рис.3.8.Годограф ZL(jω)

Емкость. Комплексное входное сопротивление емкости, как известно, опре деляется выражением

Рис. 3.9. АЧХ (а) и ФЧХ (б) комплексного сопротивления емкостного элемента

Как видно из рис. 3.9, с увеличением частоты модуль входного сопротивления емкости уменьшается и стремится к нулю при ω ∞. Аргумент комплексного вход ного сопротивления емкости равен – π/2 и от частоты не зависит. Зависимости (ω) и (ω) приведены на рис. 3.10, годограф ZC(jω ) изображен на рис. 3.11.

Рис.3.10. Зависимости от частоты вещественной (a) и мнимой (б) составляющих Zc (jω)

226