Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд

Цель модуля: ознакомление с основными положениями символического мето да комплексных амплитуд. Изучение основных операций над комплексными изо бражениями гармонических функций времени. Освоение основ метода комплексных амплитуд.

Понятие о символических методах

Установившиеся значения токов и напряжений линейной цепи, находящейся под гармоническим воздействием, могут быть найдены путем непосредственного решения дифференциального уравнения цепи (2.14) при t ∞, однако даже для от носительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. Анализ таких цепей существенно упрощается при использовании метода комплексных ампли­ туд. Метод комплексных амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над ис ходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями или символа­ ми исходных функций. Методы такого типа будем называть символическими. Не зависимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:

1)прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символам (изображениям);

2)определение изображений искомых величин путем выполнения по специ ально установленным правилам операций над изображениями;

3)обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений искомых величин к оригиналам.

В частности, при использовании логарифмического метода исходные величины на первом этапе заменяют их логарифмами. На втором этапе, выполняя необходи мые действия над логарифмами исходных величин, находят логарифмы искомых величин; операции над логарифмами оказываются проще, чем соответствующие им операции над исходными величинами (например, умножению исходных величин со ответствует сложение их логарифмов, возведению исходной величины в степень m

— умножение логарифма этой величины на m и т. д.). На третьем этапе осуществля ют обратный переход от логарифмов непосредственно к искомым величинам.

Очевидно, что эффективность каждого из символических методов определяет ся трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, на сколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.

Комплексные числа и основные операции над ними

Символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод, иногда просто — символический метод) основан на представлении гармонических функ

96

ций времени с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исход ных функций из временной области (области вещественного переменного t) в час­ тотную (область мнимого аргумента jω).

Напомним, что комплексным числом А называется выражение вида

писи комплексного числа A.

Комплексное число А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна А', а ордината ­ А" (рис. 2.3, а). Ось абсцисс, на которой от кладывается вещественная часть комплексного числа, называется действительной (Re), а ось ординат, на которой откладывается мнимая часть, — мнимой(Im) осями.

Каждой точке А комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплекс ному числу А можно поставить в соответствие вектор А, проведенный из начала ко ординат в точку А (рис. 2.3, б). Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа:

Угол α, образуемый вектором А с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа:

Положительное направление отсчета α — против часовой стрелки. Аргумент комплексного числа может иметь бесконечное множество значений, отличающихся

97

друг от друга на 2πn, где n — целое число. Главное значение аргумента заключено в промежутке ― π ≤ α ≤ π.

Как видно из рис. 2.3, б, вещественная А' и мнимая А" части комплексного числа А представляют собою проекции вектора А на действительную и мнимую оси:

Подставляя соотношения (2.18) в выражение (2.15), можно перейти от алгеб раической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

Используя формулу Эйлера

где e основание натурального логарифма, получаем показательную форму записи комплексного числа:

Комплексные числа A = A’+ jA’’ = |A|ejαA и B = B’+ jB’’ = |B|ejαB считаются равными, если попарно равны их действительные и мнимые части: А’ = B’, A’’ = B’’ [или, что то же самое, равны их модули |A| = |B|, а аргументы отличаются на 2nπ (n — целое чис ло): αA―αB=±2nπ].

Два комплексных числа A = A’+ jA’’ и = A’― jA’’ называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком. Точки на комплексной плоскости, изображающие сопряженные комплексные числа, сим метричны относительно действительной оси (рис. 2.3, в). Модули сопряженных чи сел равны, а главные значения их аргументов отличаются только знаком: A =|A|ejα,

= |A|e―jα. Понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует.

Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, имея в виду, что j2 = ― 1. Операции сложения и вычитания удобнее производить, используя алгебраическую форму записи:

,

.

Очевидно, что сумма двух сопряженных комплексных чисел A = A’+ jA’’ и = A’― jA’’ представляет собой действительное число:

Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее про водить в показательной форме:

98

Из выражений (2.23) следует, что при умножении вектора А = |A|ejα на действи тельное число m получается новый вектор, модуль которого в m раз больше модуля вектора А:

| |e .

При умножении вектора А = |A|ejαA на вектор еjψB, модуль которого равен еди нице, образуется новый вектор, повернутый относительно вектора А на угол ψB про тив часовой стрелки:

Из выражения (2.24) и формулы Эйлера следует также, что умножение вектора А = |A|ejαA на вектор

равносильно повороту вектора А на угол π/2 против часовой стрелки:

99

Рис. 2.4. Графическое определение суммы трех векторов (в, б), а также суммы (в) и разности (г) двух векторов

причем при выполнении деления учитывается, что произведение двух ком­

модуль которого равен амплитуде гармонической функции Аm, а аргумент — ее фазе = ωt + ψ. Как следует из выражения (2.27), вещественная часть мгновенного ком плекса а равна исходной гармонической функции:

100

Вещественные части этих комплексов есть исходные гармонические функции:

Геометрически мгновенный комплекс а может быть представлен в виде векто ра a=|a|ejα(t), длина которого |а| в определенном масштабе равна амплитуде Аm, соот ветствующей гармонической функции, а угол с положительным направлением ве щественной полуоси α(t) изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции α(t) = = ωt + ψ. Для того чтобы обеспечить этот закон из менения α(t), вектор а должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.5, а). В момент времени t = 0 вектор а должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол ψ, равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Как видно из рис. 2.5, а, проекция вектора а на вещественную ось в выбранном масштабе равна мгновенно му значению исходной гармонической функции времени а(t) = Re [а].

Рис 2.5. К определению понятия мгновенного комплекса a гармонической функции

Векторы и имеют одинаковую длину, противоположные по знаку началь ные фазы и вращаются в комплексной плоскости в противоположных направлениях с одинаковой угловой скоростью ω (рис. 2.5, б). Проекции этих векторов на действи тельную ось равны между собой

101

ся в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.6, б). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения ejωt, на чинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой ско ростью ω.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся под гармоническим воздействием, являются гармоническими функ циями времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электриче ской цепи a(t) может быть поставлен в соответствие текущий комплекс а. Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изобража ются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствую щей комплексной амплитуды на оператор вращения ejωt. Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.

Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и на чальными фазами, поэтому полная информация о них при известной частоте ω со держится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и началь ные фазы токов или напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и обратно по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического ко лебания.

и ЭДС √2·10 В соответствуют мгновенные значения тока и ЭДС: i3 √2·30 cos 5·104t π/4 мА, e4 √2·10 cos 5*104t B.

Таким образом, каждой гармонической функции времени a(t) можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (ком­ плексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции на комплексной плоскости.

Связь между оригиналом и изображением формально записывается в виде вы ражения

между функциями, определенными в различных областях.

103