характеристического сопротивления контура и с уменьшением сопротивления по терь.

Добротность колебательного контура может быть выражена через добротно сти его элементов. Действительно, рассматривая величину d = 1/Q = R/ρ и учитывая, что сопротивление потерь контура равно сумме сопротивлений потерь индуктив ной катушки и конденсатора в последовательных схемах замещения, находим

Анализ выражения.(3.36) показывает, что добротность контуранеможетпре­ вышать добротности его элементов на резонансной частоте. Как правило, QC0>>QL0

поэтому добротность контура в основном определяется добротностью индуктивной катушки на резонансной частоте.

Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре

Пусть последовательный колебательный контур настроен на частоту источни ка энергии, т. е. параметры реактивных элементов контура выбраны таким образом, что резонансная частота контура ω0 совпадает с частотой внешнего воздействия ω. Определим мгновенные значения энергии, запасаемой реактивными элементами контура, и энергию, потребляемую им от источника.

В соответствии с определением, на резонансной частоте напряжение и ток кон тура совпадают по фазе (рис. 3.24, a):

u= √2U cos(ω0t + ψ), i = √2I cos(ω0t + ψ),

аих амплитуды связаны между собой соотношением (3.31). Мгновенное значение энергии, запасаемой в индуктивности, определяется ее током

249

а мгновенное значение энергии, запасаемой в емкости, — напряжением емкости

(рис. 3.24, б)

1

√2 cos 2 √2 sin . 3.38

Рис. 3.24. Временны́ е диаграммы последовательного колебательного контура приω=ω0

Подставляя (3.37), (3.38) в выражения (1.25) и (1.18), получаем

Зависимости мгновенных значений энергии, запасаемой в реактивных элемен тах контура, от времени приведены на рис. 3.24, в. Как видно из временны́х диа грамм и выражений (3.39), энергия, запасаемая в емкости wC, и энергия, запасаемая в индуктивности wL , имеют две составляющие: постоянную LI2/2 и переменную, из меняющуюся во времени по гармоническому закону с частотой 2ω0. Переменные со ставляющие энергий емкости и индуктивности находятся в противофазе так, что максимальным значениям энергии, запасаемой в емкости, соответствуют нулевые значения энергии, запасенной в индуктивности, и наоборот. Несмотря на то что wC и wL являются функциями времени, суммарная энергия, запасенная в реактивных эле­ ментах контура, сохраняет постоянное значение:

250

Таким образом, добротность последовательного колебательного контура равна числу 2π, умноженному на отношение энергии, запасаемой в контуре, к энергии, потребляемой контуром за период колебаний. Выражение (3.42) но­ сит общий характер и может применяться для оценки добротности колеба­ тельных систем самых различных типов (в том числе и неэлектрических).

Входные характеристики

При исследовании комплексных частотных характеристик последовательный колебательный контур удобно представлять в виде многополюсника с тремя парами выводов (рис. 3.25, а, б).

входными, так и передаточными характеристиками.

В качестве входной характеристики контура будем рассматривать его ком плексную входную проводимость в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2' и 3 — 3':

а в качестве передаточных характеристик — комплексные коэффициенты передачи контура по напряжению для случаев, когда напряжение снимается с емкости или индуктивности:

252

и графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления контура (рис. 3.27).

При выводе выражений (3.48) — (3.50) каждое из слагаемых, стоящих в круг

Если контур настроен на частоту источника, то мнимые составляющие входно го сопротивления емкости хC = — 1/(ω 0 C) и индуктивности xL = ω0 L взаимно ком пенсируются, входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и минимально по модулю, а полная входная проводимость Y(ω) достигает максималь ного значения и равна 1/R. Векторные диаграммы, соответствующие этому случаю, изображены на рис. 2.20, е. Всякое отклонение частоты внешнего воздействия от ре зонансной приводит к нарушению баланса между мнимыми составляющими вход ного сопротивления емкости и индуктивности, что, в свою очередь, вызывает уве личение модуля входного сопротивления Z(ω), уменьшение модуля входной прово димости Y(ω) и отклонение аргумента входной проводимости (ω) от нулевого зна чения. Из рис. 3.26 видно, что чем выше добротность контура Q, тем более заметно выражен максимум Y(ω) на резонансной частоте и более резко изменяется (ω) вблизи ω0 .

При частоте внешнего воздействия ω ниже резонансной мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению превышает мнимую со

254

ставляющую входного сопротивления индуктивности (|xC|>xL ) и входное сопротив ление контура имеет резистивно емкостный характер (—π/2<φ<0). В пределе, при ω = 0, входное сопротивление контура имеет чисто емкостный характер (φ = — π/2), полное сопротивление контура z(ω) бесконечно велико, а модуль входной проводи мости y(ω) равен нулю. Векторные диаграммы для ω < ω0 и |xC | >xL приведены на рис. 2.20, д.

На частоте выше резонансной (ω > ω0) мнимая составляющая входного сопро тивления емкости по абсолютному значению меньше мнимой составляющей вход ного сопротивления индуктивности (|xC|<xL), входное сопротивление контура имеет резистивно индуктивный характер (0<φ<π/2). С увеличением частоты аргумент входного сопротивления контура φ(ω) стремится к π/2 (аргумент входной проводи мости (ω) стремится к π/2), модуль входного сопротивления контура Z(ω) неог раниченно возрастает, а модуль входной проводимости Y(ω) стремится к нулю

(см.рис. 2.20, г).

Комплексные частотные характеристики входной проводимости Y(jω), приве денные на рис. 3.26, имеют чисто качественный характер и неудобны для практиче ского использования, так как содержат большое число параметров, причем для каж дого сочетания R, Q и ω0 необходимо строить отдельные кривые. Поэтому на прак тике обычно применяют нормированные входные характеристики, которые позво ляют в обобщенной форме построить кривые для всех возможных сочетаний значе ний параметров. В качестве аргумента нормированных характеристик удобно ис пользовать так называемую обобщенную расстройку

ω= ∞ значение обобщенной расстройки также равно бесконечности.

Вряде случаев в качестве аргумента нормированных частотных характеристик удобно использовать абсолютную расстройку ∆ω = ω—ω0, относительную рас­

стройку δ = (ω—ω0)/ω0 или нормированную частоту = ω/ω0 .

Данные величины достаточно просто выражаются одна через другую:

255

Нормированные АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колеба тельного контура приведены на рис. 3.28 и 3.29 (в последнем случае комплексные частотные характеристики цепи называют обобщенными). Годограф нормирован ной комплексной входной проводимости последовательного колебательного конту ра (j ξ) имеет вид окружности (рис. 3.30).

Используя входные характеристики, найдем зависимость входного тока конту

значение. Комплексный ток контура 1 определяется произведением комплексной входной проводимости контура на комплексное действующее значение ЭДС:

. 3.55

Из выражения (3.55) находим действующее значение входного тока контура и его начальную фазу как функции угловой частоты ω:

;

1

Рис. 3.30. Годограф нормированной комплексной проводимости последовательного колебательного контура

257