Для контуров, в которых имеются источники тока, уравнения баланса напря жений составляют по общему правилу, причем напряжение источника тока учиты вается в левой части уравнения (1.41).
Пример1.6.Для контура, образованного ветвями с сопротивлениями R1, R3, R4, емко стью С2, источником напряжения е и источником тока j рис. 1.25, а , уравнение баланса на пряжений имеет вид
.
Так как вид и число уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа, не зависят от того, какие элементы входят в состав цепи, а определяются только ее топологическими особенностями, то уравнения баланса токов и напряжений можно применять для математического описания процессов в моделирующих цепях, со ставленных из двухполюсных элементов любого типа (как линейных, так и нелиней ных) при любой форме токов и напряжений независимых источников.
Очевидно, что общее число уравнений баланса токов и напряжений равно сум ме числа узлов и числа контуров исследуемой цепи. Можно убедиться, что не все из составленных таким образом уравнений будут линейно независимыми. Например, любое из четырех уравнений примера 1.2 может быть получено как линейная ком бинация из трех других уравнений: так, уравнение для узла (0) можно найти, сумми руя уравнения, составленные для узлов (1), (2), (3), и умножая правую и левую части полученного уравнения на — 1. Аналогично этому уравнения из примера 1.3 также не являются линейно независимыми.
В то же время на основании законов Кирхгофа для каждой цепи можно соста вить несколько различных систем линейно независимых топологических уравне ний. Например, любые три уравнения в примере 1.2 и любые два уравнения в при мере 1.3 образуют систему линейно независимых уравнений.
Системой независимых узлов или системой независимых контуров будем на зывать любые совокупности узлов и контуров цепи, для которых можно составить системы линейно независимых уравнений по законам Кирхгофа. Определение числа независимых узлов и контуров, а также выделение систем соответствующих узлов и контуров являются основными задачами топологии цепей. Решение этих задач производится с привлечением некоторых понятий теории графов, которая является мощным инструментом исследования топологических свойств различных сложных систем: электроэнергетических, транспортных, информационных и др.
Графы схем электрических цепей
В общем случае граф это совокупность отрезков произвольной длины и фор мы, называемых ветвями (ребрами), и точек их соединения между собою, называе мых узлами (вершинами). В теории электрических цепей в основном находят при менение направленные, или ориентированные, графы, у которых каждому ребру приписывается определенное направление, указываемое стрелкой. Различают на правленные графы схем электрических цепей и направленные графы прохождения сигналов. Направленный граф схемы электрической цепи является упрощенной мо
58
делью электрической цепи, отражающей только ее топологические (структурные)
свойства. Направленный граф прохождения сигналов представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений, описывающей процессы в электриче ской цепи. В дальнейшем будем называть направленный граф прохождения сигна лов сигнальным, а направленный граф схемы электрической цепи — просто графом цепи.
Граф цепи строят по ее схеме замещения. При этом каждую ветвь цепи заменя ют отрезком произвольной длины и формы — ветвью графа, а каждый узел цепи преобразуют в узел графа. На ветвях графа стрелками указывают их направления, которые совпадают с положительным направлением токов соответствующих ветвей цепи. Нумерация ветвей и узлов графа та же, что и нумерация ветвей и узлов схемы. Расширенному топологическому описанию цепи (см. рис. 1.22, а) соответствует рас ширенный граф цепи (рис. 1.26, а), сокращенному топологическому описанию (см. рис. 1.22, б) — сокращенный (рис. 1.26, б).
Свойства графа не зависят от формы и длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости и определяются только числом ветвей р, числом узлов q и способом соединения ветвей между собой.
Графы, имеющие одно и то же число узлов и ветвей, соединенных между собой одинаковым образом, называются изоморфными (рис. 1.27). Изменяя длину и фор му ветвей, а также взаимное расположение узлов графа на плоскости, можно полу чить бесчисленное множество графов, изоморфных исходному. Такие преобразова ния графа называются изоморфными. Каждый из вариантов изображения графа, по лученный путем изоморфных преобразований, называется его геометрической реализацией.
Если узел i является концом ветви j, то считается, что они инцидентны(от англ. incidence — сфера действия, охват). Каждая ветвь графа инцидентна двум узлам. Часть графа, которая наряду с некоторым подмножеством ветвей графа содержит и инцидентные им узлы, называется подграфом.
Степень узла графа равна числу ветвей, инцидентных данному узлу. На рис.
Рис. 1.26. Расширенный (а) и сокращенный (б) графы цепи ряс. 1.22
59
1.26, а узлы (1), (2) и (4) имеют вторую степень, узлы (0) и (3) — четвертую.
Графы, изоморфные с точностью до узлов второй степени, называются гомео морфными. После удаления из гомеоморфных графов узлов второй степени и объе динения инцидентных этим узлам ветвей гомеоморфные графы становятся изо морфными.
Таким образом, графы, соответствующие расширенному и сокращенному то пологическому описанию цепи, являются гомеоморфными.
Примером гомеоморфных графов являются графы, изображенные на рис. 1.26.
Рис. 1.27. Изоморфные графы
Планарным (плоским) называется такой граф, который в результате изо морфных преобразований может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей. Так, граф, изображенный на рис. 1.28, а, содержит две пересекающиеся ветви, однако он является планарным, так как существует изоморфный ему граф, не имеющий пересечения ветвей (рис. 1.28, б). Нетрудно убедиться, что все графы, со держащие не более четырех узлов, являются планарными.
Рас. 1.28. Устранение пересечений ветвей графа с помощью изоморфных преобразований
Непланарный (объемный) граф не может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей (рис. 1.29). При удалении из представленных на рисунке графов любой ветви они становятся планарными. Полный пятиугольник и двудольный граф (рис. 1.29) называют также графами Понтрягина — Куратовского.
60
Доказано, что произвольный граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных одному из графов Понтрягина — Ку ратовского.
Электрическая схема, которой соответствует планарный граф, также называет ся планарной. Непланарной схеме соответствует непланарный граф. Таким же об разом вводятся понятия планарной и непланарной идеализированных электриче ских цепей.
Планарный граф делит плоскость, на которой он изображен, на внешнюю и внутренние области. Внутренние области, ограниченные ветвями графа, называют ся ячейками или окнами графа. Внешняя относительно графа часть плоскости на зывается базисной ячейкой.
Рис. 1.29. Графы Понтрягина — Куратовского: а — полный пятиугольник; б — двудольный граф
Путь — это подграф, являющийся последовательностью соединенных между собой ветвей, выбранных таким образом, что каждому узлу (за исключением двух узлов, называемых граничными) инцидентны две ветви, а граничным узлам инци дентно по одной ветви (рис. 1.30). Каждая ветвь и каждый узел встречаются в пути только один раз.
Замкнутый путь, т. е. путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают, называется контуром (рис. 1.31). Каждому из узлов контура инцидентны две ветви. Очевидно, что между контурами графа и контурами исходной цепи существует вза имно однозначное соответствие.
Рис. 1.30. Различные пути между вершинами (1) и (3) графа, изображенного на рис. 1.27
Свя́зный граф — это граф, между любыми двумя узлами которого существует, по крайней мере, один путь (см. рис. 1.26 — 1.29).
61
Рис. 1.31. Некоторые из контуров графа, изображенного на рис. 1.27
Деревом свя́зного графа называется свя́зный подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. Ветви графа, вошедшие в дерево, назы ваются ветвями дерева, ветви, не вошедшие в дерево, называются связями (глав ными ветвями, хордами). Каждому графу, как правило, может быть поставлено в соответствие несколько деревьев, отличающихся друг от друга составом ветвей де рева (рис. 1.32). Каждое из деревьев графа, содержащего р ветвей и q узлов, имеет m = q — 1 ветвей дерева и n = р—q + 1 главных ветвей. При построении деревьев гра фов электрических цепей в число ветвей дерева необходимо внести все вырожден ные ветви, составленные только из идеальных источников напряжения. Ветви гра фа, соответствующие вырожденным ветвям цепи, содержащим идеальные источни ки тока, в число ветвей дерева не включают.
Рис. 1.32. Некоторые из деревьев графа, изображенного на рис. 1.27
Добавление к дереву графа любой главной ветви образует контур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, назы ваются главными (рис. 1.33). Таким образом, главный контур состоит из ветвей де рева и одной главной ветви*.
Каждому дереву соответствует своя система из n = p — q + 1 главных конту ров, причем главные контуры, соответствующие определенному дереву, отличаются один от другого, по крайней мере одной ветвью, а именно главной ветвью, входящей в каждый из главных контуров.
* На рис.1.33 и последующих рисунках ветви дерева ― сплошные линии, главные ветви ― штри ховые.
62
Рис. 1.33. Главные контуры графа (рис. 1.27), соответствующие дереву рис. 1.32, в
Каждому главному контуру обычно присваивают номер и приписывают ориен тацию (направление обхода), совпадающие с номером и ориентацией соответст вующей главной ветви*.
Сечением свя́зного графа называется минимальная совокупность ветвей гра фа, при удалении которых граф распадается на две изолированные части, каждая из которых может быть узлом. Для нахождения ветвей, образующих сечение, граф рас секают на две части замкнутой линией — линией сечения (в случае планарных графов) или замкнутой поверхностью — поверхностью сечения (в случае непла нарных графов), построенными таким образом, что ни одна из ветвей графа не пере секается этой линией (поверхностью.) дважды. Совокупности ветвей{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 5, 7}, {3, 4, 6} пересекаемых линиями а, b, c (рис. 1.34), образуют сечения, потому что при удалении каждой из этих совокупностей ветвей граф распадается на две части. Ветви, пересекаемые линией d, не образуют сечения, так как при удалении этих вет вей граф распадается более чем на две части.
Рис. 1.34. К определению понятия сечения графа
Очевидно, что каждая из частей, на которые линия (поверхность) сечения раз деляет граф цепи, может рассматриваться как обобщенный узел и, следовательно, для каждого сечения графа можно составить уравнение баланса токов (токи ветвей, одинаковым образом ориентированные относительно линии сечения, берутся с одинаковым знаком).
* Для большинства задач, рассматриваемых в рамках настоящего курса, нумерация главных контуров может быть выбрана произвольно, независимо от номеров соответствующих главных вет вей.
63