Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью

Цель модуля: освоение методов анализа и изучение основных свойств элек трических цепей со связанными индуктивностями.

Понятие о взаимной индуктивности

Две или более индуктивных катушек называются связанными, если измене ние тока одной из катушек вызывает появление ЭДС в остальных катушках. Напом ним, что явление наведения ЭДС в какой либо индуктивной катушке при изменении тока другой катушки называется взаимоиндукцией, а наведенная ЭДС — ЭДС

взаимоиндукции.

Рассмотрим две индуктивные катушки, расположенные таким образом, что магнитный поток, вызванный током одной из катушек, пронизывает витки другой катушки (рис. 2.50). Пусть i1 и i2 — токи первой и второй катушек; Φ11 и Φ22— маг­ нитные потоки самоиндукции этих катушек, т. е. магнитные потоки, пронизы вающие каждую из катушек и вызванные протекающим по ней током. Часть маг нитного потока самоиндукции первой катушки Ф21, которая пронизывает витки второй катушки, называют потоком взаимоиндукции второй катушки. Часть маг нитного потока самоиндукции первой катушки ФS1, которая не пронизывает витки второй катушки, называют магнитным потоком рассеяния первой катушки, часть магнитного потока самоиндукции второй катушки Ф12, которая пронизывает витки первой,— потоком взаимоиндукции первой катушки, а часть магнитного потока самоиндукции второй катушки ФS2 которая пронизывает только витки второй ка тушки,— потоком рассеяния второй катушки (на рис. 2.50 изображено только по одной силовой линии каждого из магнитных потоков). Таким образом, магнитный поток самоиндукции каждой катушки содержит по две составляющие:

Полный магнитный поток, пронизывающий каждую из катушек, складывается из

Рис. 2.50. Связанные катушки индуктивности: а — согласное включение; б — встречное включение

192

магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции:

;. 2.157

Потокосцепление каждой из катушек так же, как и магнитный поток, имеет две составляющие — потокосцепление самоиндукции Ψ11 и Ψ22 и потокосцепление взаимоиндукции Ψ21 и Ψ12 :

Когда все витки каждой катушки пронизываются одинаковыми магнитными потоками, выражения (2.158) могут быть записаны следующим образом:

;

, 2.159

где N1, N2 — число витков первой и второй катушек.

Знак плюс в выражениях (2.157) — (2.159) берется в том случае, когда магнит ные потоки самоиндукции и взаимоиндукции каждой катушки совпадают по на правлению (предполагается, что катушки расположены соосно). Такое включение катушек индуктивности называется согласным (рис. 2.50, а). Знак минус в выраже ниях (2.157) —(2.159) ставят в том случае, когда магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции имеют противоположные направления. Такое включение катушек называют встречным(рис. 2.50, б).

В соответствии с законом электромагнитной индукции (1.19) и с учетом (2.158), ЭДС, наводимые в каждой из связанных катушек индуктивности, включают по две составляющие:

Первое слагаемое в выражениях (2.160) представляет собой ЭДС самоиндукции, второе — ЭДС взаимоиндукции. Преобразуем выражения (2.160), формально умно жив и разделив каждое из слагаемых на di1 или di2:

В индуктивных катушках без ферромагнитных сердечников магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции пропорциональны вызывающим их токам, поэто му производные потокосцеплений по токам могут быть заменены отношением со

193

ответствующих величин. Индуктивность каждой катушки L1 или L2 есть отношение потокосцепления самоиндукции к вызвавшему его току:

Связанные индуктивные катушки, у которых потоки самоиндукции и взаимо индукции пропорциональны вызвавшим их токам и, следовательно, величины L1, L2,

М12 и М21 не зависят от i1 и i2, называются катушками с линейной индуктивно­ стью. Для них всегда выполняется условие Ψ12/i2=Ψ21/i1 , поэтому

. 2.164

Взаимную индуктивность выражают в генри (Гн). С учетом введенных обозна чений (2.161) — (2.164) ЭДС, наводимые в каждой катушке:

Переходя от ЭДС к напряжениям на зажимах связанных индуктивных катушек, окончательно получаем

В теории электрических цепей исследование реальных элементов — связанных индуктивных катушек — заменяют рассмотрением их упрощенных моделей — свя занных индуктивностей. Связанные индуктивности представляют собой идеали зированные элементы, отражающие основные явления, которые присущи связан ным индуктивным катушкам: самоиндукцию и взаимоиндукцию, или, в конечном счете, явление запасания энергии в магнитном поле. В связанных индуктивностях не происходит запасания энергии в электрическом поле или преобразования ее в другие виды энергии, что всегда в той или иной мере имеет место в реальных эле ментах.

Зависимость между токами и напряжениями на зажимах связанных индуктив ностей определяется выражениями (2.165). Если цепь содержит n связанных индук

194

тивностей, то зависимость между токами и напряжениями на их зажимах определя ется системой уравнений

где Мij = Мji — взаимная индуктивность между i й и j й связанными индуктив ностями.

Уравнения (2.165), (2.166) следует рассматривать как компонентные уравне ния ветвей, содержащих связанные индуктивности.

Понятие об одноименных зажимах

При анализе цепей с взаимной индуктивностью возникает вопрос, каким обра зом (согласно или встречно) включены рассматриваемые индуктивные катушки для выбранных условных положительных направлениях токов и, в соответствии с этим, какой знак (плюс или минус) необходимо использовать в выражениях (2.165), (2.166). Если конструкции индуктивных катушек, в частности направления их на мотки, известны, а направления токов заданы, то для выбора знака в выражениях

(2.165), (2.166) или (2.157) — (2.161) достаточно, воспользовавшись правилом бу­ равчика (правоходового винта), определить направления магнитных потоков само индукции каждой из катушек. Например, применяя правило буравчика, устанавли ваем, что у катушек, изображенных на рис 2.50, а, направления магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции у каждой катушки одинаковы, а у катушек, изо браженных на рис. 2.50, б,— противоположны.

В то же время условные графические обозначения индуктивных катушек, ис пользуемые на принципиальных электрических схемах цепей с взаимной индук тивностью, не отражают особенностей их конструкции. Для выяснения, является ли данное включение катушек согласным или встречным, вводят понятие одноимен ных зажимов связанных индуктивных катушек.

Одноименными зажимами двух связанных индуктивных катушек называется пара зажимов, выбранных таким образом, что при одинаковых относительно этих зажимов направлениях токов катушек магнитные потоки самоиндукции и взаимо индукции в каждой из них суммируются. Одноименные зажимы индуктивных кату шек помечают одинаковыми значками (буквами н и к, точками, звездочками, тре угольниками и т. п.), проставляемыми в непосредственной близости к соответст вующим зажимам. Так, на рис. 2.50, а звездочками отмечены одноименные зажимы 1 и 2. Вторую пару одноименных зажимов этих катушек образуют зажимы 1’ и 2’, спе

195