Решения и методические указания

После выполнения указанных операций над матрицами получим

Каждый элемент этого вектора соответствует определенному независимому контуру цепи, его значение равно алгебраической сумме ЭДС источников напря жения и начальных напряжений емкостных ветвей, входящих в этот контур.

цы и рассматриваемой цепи определены при решении задачи 10.16р. Выполнив необходимые действия над матрицами, найдем элементы искомой матрицы:

10.22м. Топологические матрицы рассматриваемой цепи, соответствующие за данному дереву, найдены при решении задачи 10.1р; компонентные матрицы этой цепи получены при решении задачи 10.8р.

10.23р. Собственным деревом графа электрической цепи называют дерево, со держащее все источники напряжения и все емкостные элементы и не содержащее источников тока и индуктивных элементов. Для цепей, не имеющих топологических вырождений (емкостных контуров и индуктивных сечений), всегда можно постро

891

Рис. Т10.9

Матрица сечений хорд , соответствующая какому либо собственному дереву графа, может быть сформирована двумя способами: 1) выделена из матрицы глав ных сечений; 2) построена при рассмотрении главных контуров, соответствующих выбранному собственному дереву.

ветви с источниками напряжения;

ветви с емкостными элементами;

ветви с резистивными элементами, вошедшими в собственное дерево;

ветви с резистивными элементами, не вошедшими в собственное дерево;

—ветви с индуктивными элементами;

ветви с источниками тока.

Составим матрицу главных сечений графа рассматриваемой цепи, располагая столбцы в порядке возрастания номеров ветвей, а строки в порядке увеличения но меров ветвей дерева, соответствующих каждому из главных сечений. Для собствен ного дерева цепи, изображенного на рис. Т10.9, а, матрица главных сечений имеет следующий вид:

где в — единичная матрица, число столбцов и строк которой равно числу ветвей

892

дит в й главный контур и ее ориентация совпадает с направлением обхода конту ра; 1, если ­я ветвь дерева входит в й главный контур, а ее направление про тивоположно направлению обхода контура. С учетом указанных свойств элементов матрица может быть получена путем анализа состава главных контуров, со ответствующих выбранному собственному дереву цепи, минуя этап составления ма

трицы главных сечений.

10.25р. Понятие нормального дерева вводится для цепей с топологическими вырождениями, для которых невозможно построить собственное дерево. Нормаль ным деревом графа электрической цепи называют дерево, содержащее все источни ки напряжения, максимально возможное число емкостных элементов, минимально возможное число индуктивных элементов и не содержащее источников тока. Для цепи, приведенной на рис. Т10.6, нормальное дерево состоит из источников напря

Рис. Т10.10

10.27м. Матрица сечений хорд, соответствующая выбранному нормальному дереву, для цепи с топологическими вырождениями строится таким же образом, как и матрица , соответствующая собственному дереву для цепи без топологических вырождений (см. решение задачи 10.23р).

или в скалярной форме

893

; ;

; ;

; .

;

Напомним, что направления напряжений источников тока и ЭДС проти воположны направлениям стрелок на условном графическом изображении этих ис точников.

Рис. Т10.11

10.30р. В соответствии с числом и типом энергоемких элементов цепи выберем в качестве независимых переменных (переменных состояния) ток индуктивного элемента и напряжение емкостных элементов и . Данная цепь обладает единственным собственным деревом (рис. Т10.11). Соответствующая этому дереву матрица сечений хорд имеет следующий вид:

894

Используя эти уравнения, а также компонентные уравнения

найдем уравнения для производных от переменных состояния и для токов рези стивных ветвей:

d

d ;

d

d ;

d

d ;

;

1

;

1

.

Исключив из найденных уравнений все переменные, кроме переменных со стояния, получим:

d

d ;

d

d ;

или в матричной форме

10.32м. Уравнения состояния цепей с топологическими вырождениями наряду с ν дифференциальными уравнениями, где порядок сложности цепи, содержат также алгебраические уравнения, связывающие между собой напряжения емкост ных элементов, образующих емкостные контуры, или токи индуктивных элементов, входящих в индуктивные сечения.

895