Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей

Цель модуля: формулировка основных задач теории цепей, введение понятия уравнений электрического равновесия цепей, знакомство с классификацией элек трических цепей.

Основные задачи теории цепей

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или не сколькими входами и одним или несколькими выходами (рис. 1.37). Если к входам цепи приложить внешнее воздействие x(t) = {x1(t), x2(t), …, xN(t)}, то на выходах мож но обнаружить реакцию или отклик s(t) = {s1(t), s2(t), …, sM(t)}, где N, М— число входов и выходов. В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в тео рии цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Рис. 1.37. Представление электрической цепи в виде системы с N ходами и M выходами

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s(t) на заданное внешнее воздействие x(t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).

Исходными данными в задаче анализа являются схема замещения цепи с пара метрами всех входящих в нее элементов и описание внешнего воздействия x(t), за даваемого в виде совокупности токов и напряжений идеальных неуправляемых ис точников тока и напряжения, соответственно. В результате решения задачи анализа определяется отклик цепи s(t) в виде совокупности токов и напряжений всех или некоторых ветвей цепи. В частном случае задача анализа может сводиться к нахож дению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах sj(t) и воздейст виями xi(t), приложенными к определенным входам. Такие соотношения называют ся характеристиками (системными функциями, функциями) цепи. В зависимо сти от того, какая величина — частота или время — является аргументом в выраже ниях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, разли чают частотные и временные характеристики цепи.

Определение и исследование частотных характеристик представляют собой

задачу анализа цепи в частотной области; нахождение временных характеристик — задачу анализа цепи во временной области.

73

Исходными данными в задаче синтеза являются описания внешнего воздейст вия на цепь x(t) и ее отклика s(t). В результате решения задачи синтеза необходимо определить схему замещения цепи и параметры всех входящих в нее элементов. В частном случае задача синтеза может сводиться к нахождению цепи, обеспечиваю щей заданные соотношения между внешним воздействием на цепь xi(t) и ее реакци ей sj(t), т. е. к расчету цепи по ее характеристикам.

Анализ и синтез электрических цепей в определенной степени взаимосвязаны, в частности методы синтеза базируются на использовании общих свойств характе ристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа. Поэтому изложению методов синтеза цепей будет предшествовать рассмотрение общих ме тодов анализа цепей и знакомство с характеристиками некоторых классов цепей при различных внешних воздействиях.

Понятие об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвест ных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, на зываются уравнениями электрического равновесия цепи. Очевидно, что число уравнений электрического равновесия должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

Для цепи, не содержащей вырожденных ветвей, общее число неизвестных то ков и напряжений равно удвоенному числу ветвей 2р (для каждой невырожденной ветви неизвестен ее ток и напряжение). Используя законы Кирхгофа, для такой цепи можно составить m = q ― 1 независимых уравнений баланса токов и n = p ―q + 1 не зависимых уравнений баланса напряжений. В сочетании с р компонентными урав нениями (уравнениями ветвей) получаем 2р линейно независимых уравнений, что достаточно для определения неизвестных токов и напряжений ветвей.

Если в рассматриваемой цепи имеется рит ветвей, в которых содержатся иде альные источники тока (токи этих ветвей заданы, а напряжения неизвестны), и рин ветвей, составленных только из идеальных источников напряжения (напряжения этих ветвей известны), то общее число неизвестных токов и напряжений уменьша ется до 2р ― рит ― рин. Для определения этих неизвестных можно составить 2р ― рит ― рин линейно независимых уравнений (m + n = р уравнений на основании законов Кирхгофа и р ― рит ― рин компонентных уравнений для невырожденных вет вей).

Таким образом, используя компонентные уравнения невырожденных ветвей и топологические уравнения, составленные на основании законов Кирхгофа, всегда можно сформировать систему уравнений электрического равновесия, число уравне­ ний в которой достаточно для определения всех неизвестных токов и напряжений.

74

Будем называть такую систему уравнений основной системой уравнений электрического равновесия цепи (ОСУ).

На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнений электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряже ний ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния. Все они базируются на использовании различных приемов, позволяющих преобразовать ос новную систему уравнений электрического равновесия и уменьшить по сравнению с 2р или 2р ― рит ― рин число одновременно решаемых уравнений.

При анализе цепей из рассмотрения исключаются случаи, когда использование топологических уравнений приводит к результатам, противоречащим компонент ным уравнениям. Задача анализа цепи в этом случае считается поставленной некор ректно. Ранее отмечались два случая возникновения подобных противоречий: при менение источника напряжения в режиме короткого замыкания и источника тока в режиме холостого хода. Аналогичные противоречия возникают при параллельном включении источников напряжения с различными задающими напряжениями (рис. 1.38, а), при последовательном включении источников тока с различными задаю щими токами (рис. 1.38, б), при использовании контуров, составленных только из источников напряжения (рис. 1.38, в), и сечений, образованных только из источни ков тока (рис. 1.38, г), при подключении источника постоянного напряжения к ин дуктивности (рис. 1.38, д) или источника постоянного тока к емкости (рис. 1.38, е). Следует отметить, что некорректная постановка задачи анализа цепи возникает, как правило, вследствие применения излишне упрощенных моделей реальных элемен тов, в частности источников энергии. Задача анализа цепей, содержащих участки типа приведенных на рис. 1.38, обычно становится корректной при использовании более точных моделей элементов. Так, все задачи, рассмотренные на рис. 1.38, ста новятся корректными при учете внутренних сопротивлений (проводимостей) ис точников энергии.

Рис. 1.38. Примеры некорректной постановки задачи анализа

75

Как было показано ранее, уравнения (1.39) и (1.40) являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими (1.9), (1.10), так и дифференциальными (1.13), (1.22) или инте гральными (1.16), (1.23). Вследствие этого уравнения электрического равновесия це­ пи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему ин­ тегро­дифференциальных уравнений.

Пример1.9.Составим основную систему уравнений электрического равновесия це

получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неиз вестных токов и напряжений: i1, u2, i2, u3, i3, u4, i4, u5, u6, i6.

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым ме тодом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неиз вестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением (уравнением) цепи. В частном случае это может быть алгебраическое уравнение, которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение нулевого порядка. Дифференциальное уравнение цепи содержит фундаментальную информацию о ха рактере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей. Тип дифференциального уравнения цепи пол ностью определяется ее топологией и характером входящих в нее идеализирован ных элементов.

76

Пример1.10. Составим дифференциальное уравнение цепи рис. 1.39, а относи тельно напряжения u3. Применяя указанные выше преобразования к основной системе уравнений электрического равновесия, полученной в примере 1.9, находим

значения которых зависят от параметров пассивных элементов цепи;

функция времени, определяемая параметрами независимых источников напряжения и тока.

Таким образом, уравнение цепи, изображенной на рис. 1.39, а, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи циентами.

Дифференциальные уравнения одной и той же электрической цепи, составлен ные относительно различных переменных, могут иметь различный порядок и отли чаться значениями коэффициентов ai, в левой части и видом функции времени f(t) в правой части.

Пример1.11. Найдем дифференциальные уравнения цепи, схема которой приведена на рис. 1.40, относительно тока iи напряжения .

Рис. 1.40. К примеру 1.11

Основная система уравнений электрического равновесия цепи содержит семь урав

нений:

.

Дифференцируя уравнение баланса напряжений и выражая производные всех на пряжений через токи, получаем дифференциальное уравнение цепи относительно тока i:

77