Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
Наметим порядок анализа линейной электрической цепи в установившемся режиме при гармоническом внешнем воздействии:
1)замена гармонических токов и напряжений всех ветвей их комплексными изображениями (комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями), а схемы замещения цепи для мгновенных значений — комплексной схемой замещения;
2)составление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;
3)решение системы уравнений электрического равновесия относительно ком плексных изображений интересующих токов и напряжений;
4)переход от комплексных изображений интересующих токов и напряжений к их оригиналам.
Вопросы для самопроверки
1.Почему масштабы по осям комплексной плоскости необходимо всегда выби рать одинаковыми?
2.Может ли размерность величин, отсчитываемых по осям комплексной плос кости быть разной?
3.В каких пределах может изменяться аргумент суммы двух комплексных чисел с положительными вещественными и мнимыми составляющими?
4.В каких пределах может изменяться аргумент произведения двух комплекс ных чисел с положительными вещественными и мнимыми составляющими?
5.Почему метод комплексных амплитуд называют символическим?
6.Как найти число комплексно сопряженное заданному действительному чис
лу?
7.Как называются отношения амплитуд и комплексных амплитуд напряжения и тока на зажимах участка цепи?
8.Уравнения баланса выполняются для любых (мгновенных, действующих, ам плитудных, комплексных действующих и т.д.) или определенных значений токов и напряжений?
9.Как найти число комплексно сопряженное заданному мнимому числу?
10.В чем состоит принципиальное отличие основной системы уравнений элек трического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений и той же системы, полученной методом комплексных амплитуд?
11.Сколько различных комплексных изображений гармонической функции ис пользуется в теории цепей?
112
Задачи
2.1. Определите амплитуду, действующее значение, период, частоту, угловую частоту и начальную фазу гармонических напряжения и тока, графики которых при ведены на рис. Т2.1, а, б.
Рис. Т2.1
2.2м. Найдите амплитуду, действующее значение, частоту, угловую частоту и
начальную фазу |
следующих гармонических |
напряжений: |
5cos 10 |
60° В; |
|
5√2cos 2 10 |
60° B; t1 |
4,24sin 100 |
/6 В. Определите значение на |
||
пряжения в момент времени |
= 0,1 мс. |
|
|
|
|
2.3м. Найдите амплитуды, действующие значения, комплексные амплитуды, комплексные действующие значения и мгновенные комплексы для заданных гар
монических напряжений и токов |
|
10cos |
30° B; |
|
3 |
√2cos |
60° |
B; |
||||
|
|
√2·1,2·10 |
cos |
/3 B; |
A; |
11,3 sin |
62° |
B; |
3cos |
214° |
A; |
|
|
||||||||||||
0,5·10 sin |
A; |
0,1cos |
1,41cos |
180° |
A. |
|
|
|||||
2.4.Определите комплексные амплитуды, комплексные действующие значе ния и мгновенные комплексы функций, изображенных на рис. Т2.1, а, б.
2.5.Переведите комплексные действующие значения токов из показательной
формы в алгебраическую: |
0,2 , ° А; |
24·10 |
° А; |
9,4 |
° А; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Т2.1
113
|
0,71 |
|
° А; |
0,82·10 |
° А; |
0,35 |
° |
А; |
2,8·10 |
° А; |
|
|
° А. |
|
|
|
|
||||
|
47·10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. |
Перейдите от алгебраической формы записи комплексного действующего |
||||||||
значения напряжения к показательной, если |
2,54 |
|
0,923 B; |
53,2 9,38 |
||||||
B; |
|
0,5 |
0,5 B; |
|
37 B; |
0,144 B; |
|
52,1 295 мB; |
||
|
68,2 |
73,1 мB; |
139 990 мB; |
1,12 0,043 B. |
|
|
||||
|
2.7м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для заданных комплексных действующих значений или комплексных |
||||||||
амплитуд напряжения найдите мгновенные значения напряжения. Угловая частота
ω всех напряжений одинакова. Постройте |
°временные диаграммы следующих |
° на |
|||||||||||
пряжений: |
|
7,5 / B; |
0,56 |
B; |
50 |
мB; |
3·10 |
B; |
|||||
|
48√2 |
|
16,3 B; |
B; |
16,3B; |
|
14,7 |
16,3 |
|
|
707 |
B; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
B; |
14,7 |
|
14,7 |
0,15 B. |
14,7 |
16,3 B; |
|
|
0,12 |
||||
2.86,6·10 |
2,42·10 B; |
3 |
|
|
|
ω |
|
|
|||||
|
м. |
Определите мгновенные значения тока (угловая частота |
всех токов |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
одинакова) для заданных комплексных действующих значений или комплексных
амплитуд |
тока: |
5 |
16 А; |
|
3 |
|
0,2 |
·10 |
А; |
|
|
6 |
3 А; |
|
5 А; |
||||||||
|
2.93·10 |
А; |
16,1 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a) |
|
м. |
Найдите комплексные амплитуды токов, заданных соотношениями: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
; б)° |
А; |
|
|
8,54° |
; в) |
° |
А; |
0,71 |
, |
° |
; г) |
7,31 |
, |
° |
; |
|||||
если |
|
2,71° |
5,27 |
|
А. |
|
|
А; |
|
А; |
|||||||||||||
|
3,32 |
, |
А; |
|
|
, |
|
|
|
|
не |
выполняется° |
, когда° |
: |
а) |
||||||||
|
2.10р°. Докажите, |
что° |
равенство |
° |
А; |
б) |
|||||||||||||||||
14,5 |
10 |
° |
А; |
5 |
|
А; |
|
15,2 |
|
|
10 |
|
|
А; |
5 |
А; |
|
|
|
||||
2.11Ам.. |
|
|
действующее° |
|
значение° |
тока |
задано |
в виде |
суммы: |
||||||||||||||
2,43 |
°Комплексное° |
|
|||||||||||||||||||||
0,88 |
|
1,03 |
|
0,52 |
|
А. Найдите амплитуду и начальную |
|||||||||||||||||
|
2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитуды° |
напряжений° |
, |
||||||
фазу тока.Запишите в показательной форме комплексные° |
|||||||||||||||||||||||
заданных° |
следующими |
соотношениями: |
6 |
10 |
|
|
5 |
B; |
|
10 |
|
|
|
||||||||||
5 |
|
B; |
|
6 |
3 5 |
|
2 B; |
|
|
|
3 / 5 |
2 B. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решения и методические указания
2.2м. При определении начальной фазы гармонического напряжения , необ
ходимоx |
перейтиx |
от синусоидальной функции времени к косинусоидальной: |
||
sin = cos ( – |
π |
/2 ). |
|
|
|
|
|||
2.3м. |
|
|
|
|
|
См. указание с задаче 2.2м. |
|||
114
2.7м. Для нахождения мгновенного значения напряжения необходимо от ал гебраической формы записи комплексной амплитуды или комплексного действую щего значении перейти к показательной.
2.8м. См. указание к задаче 2.7м.
2.9м. Для выполнения операции сложения и вычитания комплексные числа следует представить в алгебраической форме.
2.10р. а) Модуль суммы двух комплексных чисел не может превышать сумму модулей слагаемых. 6) Равенство может иметь место только при ψ1 < ψ3 < ψ2.
2.11м. При решении задачи можно перейти к алгебраической форме записи комплексных чисел, однако если аргументы слагаемых равны или отличают
ся |
на ,π, |
то |
следует воспользоваться |
π |
|
равенствами |
|
|
. Если |
|
модули |
сла |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
гаемых равны, а аргументы отличаются на |
|
/2, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
115