Аналогичным образом можно построить и частотные характеристики ком плексной входной проводимости идеализированных пассивных элементов, причем в связи с тем, что емкость и индуктивность являются дуальными элементами, КЧХ входной проводимости индуктивности имеют такой же вид, что и КЧХ входного со противления емкости (см. рис. 3.9 — 3.11), а КЧХ входной проводимости емкости — такой же вид, как и КЧХ входного сопротивления индуктивности (см. рис. 3.6 — 3.8).

Рис. 3.11. Годограф ZC(jω)

Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом

Рассмотрим комплексные частотные характеристики делителей напряжения с одним реактивным элементом (рис. 3.12). Цепи этого типа являются двусторонними и поэтому обладают как входными, так и передаточными характеристиками. Обоб щенная комплексная схема замещения делителей напряжения рис. 3.12 приведена на рис. 3.13, а. Для определения произвольной комплексной частотной характери стики этих, как и любых других цепей, необходимо, используя уравнения электриче ского равновесия цепи в комплексной форме, выразить соответствующую реакцию цепи k sk(t) через заданное внешнее воздействие ν xν(t), а затем из полученно го соотношения найти Hkv(jω) = k/ ν.

Найдем, например, комплексное входное сопротивление делителя со стороны зажимов 1 — 1' при произвольной резистивной нагрузке Rн ,подключенной к зажи мам 2 — 2' (рис. 3.13, б). В данном случае внешним воздействием на цепь является

и исключив из них токи 2 и 3, выразим комплексное изображение напряжения на входе цепи через комплексное изображение входного тока:

н ,

н

Рис. 3.12. Резистивно индуктивные (а, 6) и резистивно емкостные (в, г) делители напряже ния с одним реактивным элементом

откуда

н . 3.7

н

Наибольший интерес представляют случаи, когда сопротивление нагрузки равно нулю (режим короткого замыкания на зажимах 2 2'):

или бесконечно велико (режим холостого хода на выходе):

плексная частотная характеристика цепи в данном случае будет представлять собой комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению от зажимов 2 — 2’ к за жимам 1 —1’ при произвольной резистивной нагрузке Rн на зажимах 1 — 1’:

228

.

Рис 3 .13. К определению комплексных частотных характеристик делителей напряжения

Используя уравнения электрического равновесия цепи

ния в показательной форме, можно определить АЧХ и ФЧХ всех рассматриваемых цепей.

При построении АЧХ и ФЧХ необходимо каждый раз пытаться чисто ка­ чественно, без математических выкладок, на основе физических представле­ ний объяснить ход соответствующих характеристик. Умение проводить та­ кой анализ имеет важное значение в деятельности радиоинженера, так как позволяет во многих случаях избежать грубых ошибок в расчетах и сэконо­ мить время, которое могло бы уйти на анализ заранее неудачных схемных ре­ шений.

229

Рис.3.14. Нормированные АЧХ и ФЧХ входного сопротивления цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а

Построим АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления делителя напря жения (рис. 3.12, а) со стороны зажимов 1 — 1’ при холостом ходе на зажимах 2 — 2’. Подставляя в выражение (3.8) Z1 = R, Z2 = jωL и переходя от алгебраической формы записи Z11х (jω) к показательной

находим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Непосредственное использование выражений (3.10) для построения АЧХ и ФЧХ весьма неудобно, так как для каждой пары значений параметров R и L необходимо строить отдельную кривую. Построение существенно упрощается при замене абсо лютных значений частоты ω, комплексного сопротивления Z11х (jω) и полного со противления z11х (ω) относительными (нормированными) значениями:

Из выражений (3.11) следует, что нормированная частота , нормированное комплексное сопротивление 11х (j ) и нормированное полное сопротивление х ( ) являются безразмерными величинами. С учетом (3.11) найдем выражения

для нормированных АЧХ и ФЧХ входного сопротивления рассматриваемой цепи

(рис. 3.14):

Годограф нормированного комплексного сопротивления этой цепи изображен на рис. 3.15. Аналогичный вид имеют нормированные частотные характеристики входного сопротивления цепи, схема которой изображена на рис. 3.12, б.

230

Рис. 3.16. АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению цепи, схема которой представлена на рис. 3.12, а

Переходя в (3.14) к показательной форме записи, находим аналитические вы ражения для АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению (рис. 3.16):

Годограф комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению изобра жен на рис. 3.17.

На сравнительно низких частотах ( <<1), когда полное сопротивление индук тивности существенно меньше R, входное сопротивление цепи имеет характер, близкий к чисто резистивному, а входной ток цепи 1 совпадает по фазе с напряже нием 1. Распределение напряжения между плечами делителя напряжения пропор ционально сопротивлению этих плеч, поэтому напряжение на индуктивности 2 весьма мало, т. е. модуль коэффициента передачи по напряжению близок к нулю.

Рис. 3.17. Годограф K21X (jω)

232

Рис. 3.18. ЛАЧХ комплексного входного сопротивления (а) и комплексного коэффи циента передачи по напряжению (б) цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а

Логарифмические АЧХ комплексного входного сопротивления Z11x (jω) и ком плексного коэффициента передачи по напряжению K21х (jω) цепи (см. рис. 3.12, а) приведены на рис. 3.18. Сравнение рис. 3.18, а и 3.14, а, 3.18, б и 3.16, а показывает, что применение логарифмического масштаба позволяет в компактной форме пред ставить графики АЧХ в очень широком диапазоне частот; изображение таких графи ков в линейном масштабе было бы крайне ненаглядным. В связи с тем что lg 0 = ∞, на ЛАЧХ не могут быть показаны значения = 0 и ( ) = 0. В области малых значе ний ω и H(ω) изображения по осям растягиваются, а в области больших значений ― сжимаются.

Применение ЛАЧХ позволяет выявить некоторые общие свойства АЧХ цепей с одним реактивным элементом. Так, анализ выражения (3.12) для нормированного значения модуля комплексного входного сопротивления цепи, схема которой при ведена на рис. 3.12, а, позволяет утверждать, что в области низких частот ( <1) за висимость логарифмического модуля КЧХ от нормированной частоты lg

) значение дБ изменится на 20 lg 10 = 20 дБ. Таким образом, ЛАЧХ входного сопротивления рассматриваемой цепи может быть приближенно представлена от резками двух прямых: прямой, параллельной оси lg ω, при ω < 1 и прямой, имеющей наклон 6 дБ/окт или 20 дБ/дек, при > 1 (на рис. 3.18, а показаны

штриховой линией). Максимальная ошибка при приближенной замене ЛАЧХ двумя отрезками прямых достигается при = 1, она составляет 20 lg√2 = 3 дБ. Аналогич ным образом, с помощью отрезков прямых, параллельных оси частот или имеющих наклон ±6 дБ/окт (±20 дБ/дек), могут быть представлены ЛАЧХ любых цепей с од ним реактивным элементом. В частности, график ЛАЧХ комплексного коэффициента передачи цепи рис. 3.12, а по напряжению, приведенный на рис. 3.18, б, в области

234