Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы

Цель модуля: ознакомление с основными свойствами и математическими мо делями идеализированных пассивных элементов.

Резистивный элемент

Резистивным элементом или идеальным резистором называется идеализи рованный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преоб разуется в другие виды энергии, например в тепловую, световую или механическую. Запасания энергии электрического или магнитного полей в резистивном элементе не происходит. По своим свойствам к резистивному элементу наиболее близки ре альные элементы электрической цепи — резисторы, в которых электрическая энер гия в основном преобразуется в тепловую. Важнейшей характеристикой резистора, которая определяет меру преобразования электрической энергии в тепловую, явля ется его сопротивление. Помимо основного процесса — преобразования электриче ской энергии в тепловую — в резисторе имеют место также другие процессы, на пример запасание энергии электрического и магнитного полей.

Резистивный элемент можно рассматривать как упрощенную модель резисто ра, в которой абстрагируется только его основная характеристика — сопротивление. В соответствии с этим резистивный элемент или идеальный резистор в теории це пей часто называют просто сопротивлением*.

Условное графическое изображение резистивного элемента приведено на рис. 1.3. Условно положительные направления напряжения и тока показываются стрел ками. Рядом с условным графическим изображением резистивного элемента поме щают его условное буквенное обозначениеR.

Рис. 1.3. Условное графическое изображение резистивного элемента

Вольт амперная характеристика (ВАХ) резистора, т. е. зависимость между то ком и напряжением на его зажимах u = u(i) или i = i(u), в общем случае имеет нели нейный характер. Соответствующие зависимости, полученные для постоянных то ков и напряжений, или, точнее, для случая бесконечно медленно изменяющихся то

*Использование термина «сопротивление», а также вводимых далее терминов «емкость» и «ин дуктивность» не только в качестве характеристик реального и идеализированного элементов, но и в качестве названий идеализированных элементов является не вполне удачным и оправдывается только компактностью изложения.

18

i = i(u) имеет нелинейный характер, называется резистором с нелинейным сопро­ тивлением. Следует отметить, что для большинства резисторов зависимость u = u(i) или i = i(u) несколько отличается от линейной, однако в ограниченном диапазоне изменений напряжения этой нелинейностью можно пренебречь и рассматривать сопротивление такого резистора, как линейное.

Рис. 1.5. Вольт амперные характеристики резисторов с нелинейным (а) и линейным (б) со противлениями

Резистивный элемент, так же как и резистор, характеризуется зависимостью между током и напряжением на его зажимах и определяемыми по ней значениями статического и дифференциального сопротивлений. Для линейного резистивного элемента зависимость между током и напряжением имеет линейный характер, для нелинейного — эта зависимость отличается от линейной. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, ограничимся рассмотрением цепей с линейным сопротивле нием.

Зависимость между током и напряжением на зажимах линейного сопротивле ния подчиняется закону Ома, который можно записать в виде

1.9

или

. 1.10

где G = 1/R — проводимость.

В ряде случаев при исследовании электрических цепей проводимость удобно рассматривать в качестве отдельного идеализированного двухполюсного элемента, имеющего такие же свойства и такое же условное графическое изображение, как со противление, и буквенное обозначение G. Идеализированные резистивные элемен ты электрической цепи сопротивление и проводимость относятся к так называемым диссипативным элементам (от латинского dissipare — рассеивать); их наличие в це

20

пи приводит к потерям электрической энергии, или, точнее, к необратимому преоб разованию ее в другие виды энергии.

Значения сопротивления R и проводимости G не зависят от выбора рабочей точки, причем R > 0 и G > 0. В Международной системе единиц сопротивление изме ряют в омах (Ом), а проводимость — в сименсах (См).

Очевидно, что при изменении значения сопротивления R (проводимости G) угол наклона ВАХ линейного резистивного элемента (рис. 1.5, б) изменяется, причем при R = 0 (G = ∞) ВАХ совпадает с осью токов (α =β = 0), а при R = ∞ (G = 0) — с осью напряжений (α = β = π/2).

Мгновенная мощность резистивного элемента может быть выражена через со противление R или проводимость G:

. 1.11

Мгновенная мощность резистивного элемента при выбранных положительных направлениях тока и напряжения (см. рис. 1.3) — неотрицательная величина. Элек трическая энергия, поступающая в резистивный элемент и преобразуемая в нем в другие виды энергии, также всегда положительна (кроме случая uR = 0, iR = 0):

Отметим, что функция wR(t) является неубывающей функцией времени [по скольку она вычисляется как площадь, заключенная под кривой p = p(t) > 0].

Таким образом, в любой момент времени резистивный элемент может только потреблять энергию от источников и ни в какие моменты времени он не может от­ давать электрическую энергию другим элементам цепи.

Емкостный элемент

Емкостным элементом, идеальным конденсатором или емкостью называ ется идеализированный элемент электрической цепи, обладающий свойством запа сать энергию электрического поля, причем запасания энергии магнитного поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в нем не происходит. По свойствам к емкостному элементу наиболее близки реальные элементы электри ческой цепи — конденсаторы. Основной особенностью конденсатора является его способность запасать энергию электрического поля, однако в отличие от емкостно го элемента в конденсаторе имеют место потери энергии в диэлектрике и обклад ках, т. е. преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также происходит запасание энергии магнитного поля.

Так же как и в случае сопротивления, термин «емкость» используется не только для обозначения идеализированного элемента электрической цепи, но

21

и как количественная характеристика способности этого элемента или его прототипа (конденсатора) запасать энергию электрического поля.

Условное графическое изображение емкостного элемента приведено на рис. 1.6, а.

Рис. 1.6. Условные графические изображения емкостного (а) и индуктивного (б) элементов

Зависимость заряда q, накопленного в емкостном элементе, от напряжения uC, называемая кулон­вольтной характеристикой, имеет в общем случае нелинейный характер (кривая 1 на рис. 1.7).

1— нелинейная, 2 — линейная

Вобщем случае дифференциальная емкость не равна статической, причем обе величины зависят от выбора рабочей точки на характеристике q = q(u). Если зави симость заряда, накопленного в емкости, от напряжения имеет линейный характер (кривая 2 на рис. 1.7), то значения дифференциальной и статической емкостей оди наковы и не зависят от напряжения: Сдиф = Сст = С.

Всистеме единиц СИ емкости С, Сст и Cдиф выражают в фарадах (Ф).

22

Емкость, значение которой не зависит от напряжения, называется линейной; емкость, значение которой зависит от напряжения,— нелинейной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только цепей с линейной емкостью.

Учитывая, что для линейной емкости производная заряда по напряжению рав на С и не зависит от напряжения uС : C = dq/duC = q/uC, получаем

Как следует из выражения (1.13), ток емкости пропорционален скорости изме нения приложенного к ней напряжения. Если напряжение на зажимах емкости не изменяется во времени, то ток емкости равен нулю. Таким образом, сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико.

Используя выражение (1.13), находим зависимость напряжения емкости от то

ка:

Интегрирование ведется, начиная с момента времени t = — ∞, для того, чтобы учесть все возможные изменения заряда емкости и, следовательно, напряжения uC , причем предполагается, что в момент времени t = — ∞ напряжение на зажимах ем кости равно нулю.

Пусть наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t = t0. На пряжение емкости в начальный момент

жение (1.15), определим напряжение емкости в произвольный момент времени t:

Мгновенная мощность емкости

23