Общий подход к анализу переходных процессов

Общее решение такого уравнения содержит ν произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции s и ее ν 1 пер вых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = 0 . Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в цепи перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают токи всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принципы непрерывности потокосце пления и электрического заряда), находят токи индуктивностей и напряжения ем костей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для опреде ления ν начальных условий требуется применить законы коммутации к ν незави симо включенным реактивным элементам, т. е. ко всем реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Совокупность начальных значений токов независимо включенных ин дуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные усло вия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зави­ симые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производные в момент времени t = 0 .

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предше ствующий коммутации, равна нулю, то цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальныеусловия, а, следо­ вательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0 ), и не зависят от характера процессов, имею­ щих место в цепи до коммутации (при t < 0).

Определение порядка сложности цепи

В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи желательно вы яснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение ν не может превышать общего числа реактивных элементов цепи pLC.

Если в цепи имеется емкостный контур, т. е. контур, образованный только ем костями или емкостями и независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емкостей такого контура может быть выражено через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного контура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи. Частный случай емкостного контура представляют собой две параллельно включенные емкости, которые при определении порядка сложности цепи можно за менить одной эквивалентной емкостью. В то же время энергетическое состояние

453

двух и более последовательно включенных емкостей, не входящих в емкостный контур, можно задать независимо, поэтому каждая из таких емкостей должна учи тываться при подсчете ν (см. пример 1.11).

Число независимо включенных реактивных элементов снижается и при нали чии в цепи индуктивного сечения, т. е. сечения, в которое входят только индуктив ности или индуктивности и независимые источники тока. Частным случаем индук тивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности или индуктивности и независимые источники тока). Ток, а, следова­ тельно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнения баланса токов, составленного для данного сечения. Две последовательно включенные индук тивности образуют индуктивное сечение, поэтому при подсчете ν их можно заме нить одной.

Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учи тывают только независимые емкостные контуры и независимые индуктивные се чения, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напряжений и токов кото рых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или на пряжения,

где pLC — число реактивных элементов; nек — число независимых емкостных конту ров; qис — число независимых индуктивных сечений.

Следует отметить, что при определении порядка сложности цепи ν не учиты ваются емкостные сечения и индуктивные контуры − топологические особенности такого типа не приводят к уменьшению числа независимо включенных реактивных элементов. Отметим также, что соотношение (6.4) получено в предположении, что компонентные уравнения элементов не вносят дополнительных зависимостей меж ду напряжениями различных емкостей или токами различных индуктивностей. Это условие всегда выполняется для цепей, составленных из пассивных двухполюсных элементов и независимых источников тока или напряжения, однако оно может не выполняться для цепей, содержащих управляемые источники. В этом случае выра жение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи.

Пример6.3.Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис.

6.3.

454