Матрицы , и , называемые топологическими, содержат полную ин­

формацию о топологии цепи. Элементы топологических матриц связаны между собой определенными соотношениями, так что, зная одну из них, всегда можно найти и любую другую, причем вид матрицы узлов А зависит только от выбора базисного узла и порядка нумерации узлов и ветвей, а вид матриц В и Q зависит еще и от выбора дерева графа рассматриваемой цепи.

Свойства топологических матриц

До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на порядок нумерации ветвей графа и его главных контуров (главных сечений). Условимся теперь нумеро вать ветви графа следующим образом: сначала все ветви дерева, а затем — главные ветви. Соответствующим образом расположим и столбцы матриц , и : сначала в порядке возрастания номеров поставим столбцы, соответствующие ветвям дерева, а затем — столбцы, соответствующие главным ветвям; строки матриц и запишем в порядке возрастания номеров ветвей дерева и главных ветвей соответственно. В этом случае порядок нумерации главных сечений соответствует порядку нумерации ветвей дерева, а порядок нумерации главных контуров — порядку нумерации глав ных ветвей, причем каждая из матриц и может быть разбита на две подматри цы, соответствующие ветвям дерева и главным ветвям:

каждая главная ветвь — только в один главный контур, приходим к заключению, что квадратные матрицы в и , являются единичными:

Подставляя выражения (10.7) и (10.8) в (10.5) и (10.6) и разбивая матрицы

860

одинаковые. В обоих случаях соотношение (10.17), а следовательно, и (10.15) будут выполняться.

Аналогичным образом доказывается и справедливость соотношения (10.16). В этом случае необходимо учесть, что если какие либо сечение и контур имеют общие ветви, то их число должно быть четным (линия сечения делит графна две части, при этом любой замкнутый путь должен начинаться и заканчиваться в одной и той же части графа), причем если какие либо две ветви, входящие и в сечение, и в контур, одинаково сориентированы относительно сечения, то они различным образом сори ентированы относительно направления обхода контура и, наоборот, если они оди наково сориентированы относительно направления обхода контура, то они различ ным образом сориентированы относительно сечения.

Подставляя выражения (10.7) и (10.8) в соотношение (10.16) и учитывая (10.9) и (10.10), получаем

что позволяет записать уравнения (10.13) и (10.14) либо с помощью подматрицы

:

Уравнения (10.20) или (10.21) равносильны уравнениям (10.4), (10.6) или (10.5), (10.6); при машинном анализе цепей они часто используются вместо (10.4) — (10.6).

На практике при составлении топологических уравнений чаще применяется под матрица , которая получила название матрицы сечений — хорд. Подматрица в называется матрицей контуров — ветвей.

Анализируя правила формирования матрицы главных сечений Q и то, каким

862

ветвь входит в е главное сечение и ее направление совпадает с направлением се

ют, какие ветви дерева входят в главный контур, замыкаемый главной ветвью, со ответствующей каждому столбцу. Элемент 1, если я ветвь дерева входит в j й главный контур, причем ее направление совпадает с направлением обхода кон

учетом принятой нумерации ветвей изображен на рис. 10.1, б. Матрица главных сечений

В справедливости полученных соотношений нетрудно убедиться, составляя урав нения баланса токов и напряжений для главных сечений и главных контуров рассматри ваемой цепи.

863