не может быть использован для анализа цепей со взаимной индуктивностью при kM = 1.

Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками

Основная проблема, возникающая при формировании уравнений электриче ского равновесия цепей с управляемыми источниками, заключается в том, что в этих уравнениях могут появляться новые переменные, не входящие в выбранную систе му независимых переменных, представляющие собой управляющие токи или на пряжения источников. Обычно эта проблема решается одним из двух способов:

1)введением дополнительных уравнений, выражающих управляющие токи или напряжения через величины, выбранные в используемом методе анализа в ка честве независимых переменных;

2)преобразованием исходной цепи, направленным на замену заданных управ ляемых источников другими источниками, управляемыми токами или напряже ниями, выбранными в качестве независимых переменных.

При формировании уравнений различают зависимые источники, управляемые током или напряжением какой либо невырожденной, т. е не содержащей источни ков тока и не составленной только из источников напряжения, ветви, и источники, у которых управляющее воздействие не является током или напряжением какой либо невырожденной ветви.

Рассмотрим сначала методику формирования уравнений электрического рав новесия цепей, содержащих зависимые источники первого типа. Особенностью та ких цепей является возможность преобразования источников, управляемых напря жением какой либо ветви в источники, управляемые током этой же ветви, и наобо рот.

Пусть в исследуемой цепи имеются источники напряжения и тока, управляе мые напряжением a й ветви:

пряжением, преобразуется в источник, управляемый током. В простейшем случае связь напряжения и тока а й ветви описывается законом Ома в комплексной форме:

. 4.22

Подставляя (4.22) в (4.21), получаем

;.

330

Аналогичным образом можно преобразовать источники, управляемые током какой либо ветви, в источники, управляемые напряжением этой же ветви.

При составлении основной системы уравнений электрического равновесия це пей, содержащих зависимые источники напряжения или тока рассматриваемого ти па, эти источники учитывают в уравнениях, составленных на основании законов Кирхгофа, наряду с независимыми источниками, а затем токи и ЭДС зависимых ис точников выражают через соответствующие управляющие воздействия. В связи с тем что управляющие воздействия представляют собой токи и напряжения ветвей цепи, в основной системе уравнений электрического равновесия цепи не появится новых неизвестных токов или напряжений. При формировании уравнений электри ческого равновесия цепи по методу ТВ задающие токи и ЭДС управляемых источни ков должны быть выражены через неизвестные токи а при формировании таких уравнений по методу НВ — через известные напряжения ветвей.

Пример4.7.Используя метод токов ветвей, составим уравнения электрического равновесия цепи рис. 4.2, а при условии, что ток источника тока является, функцией на пряжения ветви, содержащей индуктивность: S 3.

Задача решается в два этапа. На первом формируют систему уравнений по методу ТВ, в которой ток источника учитывается так же, как если бы это был ток независимого источника см. пример 4.2 :

На втором этапе ток управляемого источника выражают через ток третьей ветви S 3 Z3S 3 и подставляют в полученную систему уравнений:

Метод контурных токов позволяет сформировать систему уравнений электри ческого равновесия цепи, содержащей зависимые источники напряжения, управ ляемые током. Если в цепь входят также зависимые источники других типов, то они должны быть преобразованы в источники напряжения, управляемые током. При со ставлении контурных уравнений ЭДС таких источников учитываются наравне с ЭДС независимых источников, а затем переносятся в левую часть уравнений и выража ются через соответствующие контурные токи. Таким образом, наличие в исследуе мой цепи источников ЭДС, управляемых током, приводит к изменению коэффициен тов перед некоторыми из контурных токов и может обусловить несимметричность матрицы контурных сопротивлений относительно главной диагонали.

331

Пример4.8.Составим систему контурных уравнений цепи рис. 4.2 при условии,

Рис. 4.6. К примеру 4.8

Преобразуем схему цепи таким образом, чтобы управляемый напряжением источ ник тока был заменен на управляемый током источник напряжения рис. 4.6,а

.

Выбрав систему независимых контуров рис. 4.6, б , составим систему контурных уравнений цепи, в которой ЭДС источника учтена так, как будто этот источник независи мый:

;

0.

Матрица контурных сопротивлений данной цепи несимметрична относительно главной диагонали:

.

Метод узловых напряжений позволяет составить систему уравнений электри ческого равновесия цепей, содержащих управляемые напряжением источники тока. Если цепь содержит зависимые источники других типов, то они должны быть заме нены на источники тока, управляемые напряжением. При составлении узловых уравнений токи таких источников учитывают наравне с токами независимых ис точников, а затем выражают через соответствующие узловые напряжения. Наличие в рассматриваемой цепи управляемых источников, как правило, приводит к тому, что матрица узловых проводимостей цепи становится несимметричной относитель но главной диагонали.

Пример4.9.Составим узловые уравнения цепи рис. 4.2, а при условии , что ЭДС ис точника напряжения является функцией тока 4: Zn 4.

332

ваны в источники, управляемые током этой же ветви. Аналогично этому, источники, управляемые током ветви, составленной только из источников напряжения, не мо гут быть преобразованы в источники, управляемые напряжением этой же ветви. В этом случае для изменения вида управляющего воздействия это воздействие снача ла должно быть выражено через токи или напряжения невырожденных ветвей. (На помним, что напряжение на источнике тока может быть выражено через напряже ния ветвей дерева, входящих в главный контур, замыкаемой ветвью с этим источни ком, а ток ветви, составленной только из источников напряжения,— через токи главных ветвей, входящих в соответствующее главное сечение.)

Рис 4.8. Введение в цепь вырожденной ветви, соответствующей управляющему напряжению

Если цепь содержит зависимые источники, управляющие токи или напряжения которых не являются токами или напряжениями ветвей этой цепи, то при составле нии системы уравнений электрического равновесия обязательно появятся дополни тельные неизвестные — соответствующие управляющие токи или напряжения. Для того чтобы получить достаточное число уравнений для определения всех неизвест ных токов и напряжений, в состав рассматриваемых цепей обычно включают допол нительные вырожденные ветви, соответствующие управляющим воздействиям за висимых источников. Так, если в цепи (рис. 4.8, а) имеется источник напряжения, ЭДС которого зависит от напряжения упр, не являющегося напряжением какой либо ветви, то для составления основной системы уравнений электрического равновесия эту цепь дополняют вырожденной ветвью (рис. 4.8, б), содержащей независимый ис точник тока = 0, напряжение которого равно упр. Если электрическая цепь содер жит зависимый источник тока , управляемый током упр, не являющимся током ка кой либо ветви (рис. 4.9, а), то для составления основной системы уравнений элек