Модуль 1.4. Топология цепей
Цель модуля: знакомство с основными понятиями топологии цепей и изуче ние топологических свойств электрических цепей.
Схемы электрических цепей. Основные определения
Схема электрической цепи — это условное графическое изображение элек трической цепи. В связи с тем, что в теории цепей рассматривают исключительно схемы замещения электрических цепей, в дальнейшем под термином «схема» будем понимать именно схему замещения электрической цепи. Схема электрической цепи определяет, таким образом, состав идеализированных активных и пассивных эле ментов моделирующей цепи, замещающей исследуемую цепь в рамках рассматри ваемой задачи, параметры этих элементов и способ их соединения между собой. При построении схем замещения электрических цепей предполагается, что изображен ные на них соединительные проводники и выводы отдельных элементов или частей цепи не способны запасать энергию электрического или магнитного полей и преоб разовывать ее в другие виды энергии, т. е. они не обладают емкостью, индуктивно стью или сопротивлением.
Способ изображения идеализированных активных и пассивных элементов и их взаимное расположение на схеме не оказывают влияния на характер электрических процессов в исследуемой цепи. С этой точки зрения, приведенные на рис. 1.20, а, б и в различные варианты изображения схемы участка электрической цепи совершенно равноценны.
Рис. 1.20. Варианты изображения схемы участка электрической цепи
При необходимости на схеме указывают положительные направления токов и напряжений: для токов через внешние выводы цепи или через ее элементы — стрелками непосредственно на соединительных проводниках или выводах (рис.1. 21, а), для напряжений на отдельных элементах или участках цепи — стрелками ме жду выводами соответствующих элементов или участков цепи (рис. 1.21, б). Поло жительные направления напряжений пассивных элементов выбирают совпадаю щими с положительными направлениями токов соответствующих элементов и на схемах, как правило, не указываются. Положительные направления напряжения на идеализированных активных элементах противоположны направлению стрелок внутри кружков на условных графических изображениях этих элементов и на схемах так же, как правило, не указываются.
49
Рис. 1.21. Схемы неразветвленной (а) и разветвленной (б) электрических цепей
Рядом со стрелками, указывающими положительные направления токов или напряжений, проставляют их условные буквенные обозначения, например iR, uC, uL2 ...
или i1, i2, u1, где индексы представляют собой либо буквенные обозначения соответ ствующих элементов, либо порядковые номера токов и напряжений.
Внешние выводы отдельных участков моделирующей цепи, по аналогии с внешними выводами реальных элементов электрической цепи, называют полюса ми. В зависимости от числа полюсов участки цепей делят на двухполюсники и мно гополюсники (трехполюсники, четырехполюсники, N полюсники). Двухполюсник может состоять из одного или нескольких идеализированных двухполюсных эле ментов (см., например, рис. 1.9 — 1.11) или может вообще не содержать идеализиро ванных активных и пассивных элементов (например, короткозамыкающий двухпо люсник или перемычка). Важное значение в теории цепей имеют многополюсники с четырьмя выводами — четырехполюсники (см. книгу 7). Отметим, что цепи, моде лирующие реальные двухполюсные элементы, всегда являются двухполюсниками, в то время как цепи, моделирующие N полюсные элементы, могут содержать менее чем N внешних выводов. Например, пятиэлектродным электронным лампам — пен тодам, имеющим в зависимости от конструкции 5 — 7 внешних выводов, соответст вуют схемы замещения по переменному току с 3 — 4 выводами.
В зависимости от характера соединения идеализированных двухполюсных элементов различают неразветвленные и разветвленные цепи. В неразветвленной
цепи (рис. 1.21, а) один и тот же ток замыкается через все элементы цепи. В разветв ленных цепях (рис. 1.21, б и 1.22) токи различных элементах могут иметь различные значения.
Рис. 1.22. Расширенное (а) и сокращенное (б) топологические описания цепи
50
Соединение группы идеализированных двухполюсных элементов, при котором через них замыкается один и тот же ток, называется последовательным. Например, в неразветвленной цепи, схема которой представлена на рис. 1.21, а, все элементы включены последовательно (iR1 = iR2 = iL = iC = ie), а в разветвленной цепи (рис. 1.22, а) имеется две группы последовательно включенных элементов (источник напряже ния е, сопротивление R1 и индуктивность L1, а также сопротивление R3 и емкость С).
Соединение группы двухполюсных элементов, при котором все элементы на ходятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным. Так, в раз ветвленной цепи, схема которой приведена на рис. 1.21, б, все элементы включены параллельно (uj = uR = uL = uC).
Комбинация последовательного и параллельного соединений элементов назы вается смешанным соединением (рис. 1.22, а). В ряде случаев соединение между входящими в цепь элементами не может быть отнесено ни к последовательному, ни к параллельному, ни к смешанному. К числу таких соединений относятся соедине ния треугольником (рис. 1.23, а) и звездой (рис. 1.23, б), которые являются част ными случаями соединения N угольником (рис. 1.24, а) и N лучевой звездой (рис. 1.24, б).
Характер соединений между идеализированными элементами цепи определяет
Рис. 1.23. Соединение сопротивлений треугольником (а) и звездой (б)
Рис. 1.24. Соединение сопротивлений N угольником (а) и N лучевой звездой (б)
51
ее топологические (структурные) свойства, для описания которых используют по нятия ветви, узла и контура. Ветвь представляет собой участок электрической цепи, вдоль которого замыкается один и тот же ток. Она может состоять из одного или не скольких последовательно включенных идеализированных двухполюсных элемен тов. Например, в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.22, б, можно выделить ветви, составленные из одного (ветви, содержащие сопротивление R2 или индуктивность L2), двух (ветвь, содержащая сопротивление R3 и емкость C) и трех элементов (ветвь с источником напряжения е, сопротивлением R1 и индуктивностью L1). Так как каждую ветвь можно рассматривать как двухполюсник, то соединения ветвей можно характеризовать теми же терминами, что и соединения идеализиро ванных двухполюсных элементов (параллельное, последовательное и т. д.).
Например, электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 1.22, б, мож но рассматривать как параллельное соединение четырех ветвей: {е, R1, L1}, {R2}, {L2} и {R3, С}.
Место соединения ветвей между собой называется узлом, причем место соеди нения двух ветвей называют устранимым узлом (при соединении двух ветвей токи через них имеют одинаковые значения, поэтому две такие ветви могут быть заме нены одной). В неразветвленной цепи все узлы относятся к устранимым, в разветв ленной всегда имеются узлы, являющиеся местом соединения трех ветвей и более.
Иногда, в частности, при автоматизированном составлении уравнений, описы вающих процессы в электрических цепях, бывает удобно рассматривать каждый из идеализированных двухполюсных элементов, входящих в моделирующую цепь, в качестве отдельной ветви, при этом необходимо принимать во внимание все узлы, в том числе и устранимые. Будем называть такое топологическое описание цепи рас ширенным (см. рис. 1.22, а). При сокращенном топологическом описании цепи
(см. рис. 1.22, б) группы последовательно включенных элементов рассматриваются в качестве отдельных ветвей и устранимые узлы во внимание не принимаются. Таким образом, число ветвей и, следовательно, число рассматриваемых токов уменьшается (в нашем случае с 7 до 4).
Ветви электрической цепи нумеруют арабскими цифрами, начиная с единицы. Номера ветвей удобно выбирать совпадающими с номерами соответствующих то ков, в этом случае номера ветвей на схеме можно не указывать. Узлы электрической цепи нумеруют, начиная с нуля. Порядок нумерации узлов значения не имеет, одна ко номер «0» удобно присваивать заземленному узлу или узлу, к которому сходится наибольшее число ветвей. Номера узлов условимся обозначать арабскими цифрами в круглых скобках, проставленными около соответствующего узла.
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются дважды, называется контуром. Например, в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.22, б. можно выделить шесть контуров, образованных ветвями {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 4}, {2, 4} и {1, 3}. Нераз ветвленная цепь (см. рис. 1.21, а) содержит только один контур. При переходе от
52