Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы

Цель модуля: рассмотрение основных свойств и математических моделей идеализированных активных элементов.

Идеальный источник напряжения

Идеальный источник напряжения (источник напряжения, источник ЭДС)

представляет собой идеализированный активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока через эти зажимы. Напряжение u на зажимах источника напряжения (его обычно называют задающим напряжением) при любом токе равно напряжению на зажимах этого же источника при отсутствии в нем тока, т. е. равно ЭДС источника:

1.26

и может быть произвольной функцией времени. В частном случае ЭДС е(t) = E_ мо жет не зависеть от времени. Источник такого типа называется источником посто­ янного напряжения (источником постоянной ЭДС).

Условное графическое изображение источника напряжения приведено на рис. 1.12, а. Стрелка внутри кружка на рисунке указывает направление ЭДС. Для источ ников постоянного напряжения она направлена от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с более высоким потенциалом, в то время как напряжение на внешних за жимах источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом.

i

u

E_

0 i

a)б)

Рис. 1.12. Идеальный источник напряжения:

а — условное графическое изображение; б—внешняя характеристика источника постоянно го напряжения

Внешней характеристикой любого источника электрической энергии назы вается зависимость напряжения на его зажимах от тока источника. Внешняя харак теристика источника постоянного напряжения имеет вид прямой линии, парал лельной оси токов (рис. 1.12, б), причем при Е_=0 внешняя характеристика источни ка постоянного напряжения совпадает с осью токов. Другими словами, источник на пряжения Е_=0 ведет себя таким же образом, как линейное сопротивление с R = 0.

37

Если подключить к зажимам источника ЭДС нагрузку RH (рис. 1.13), то, согласно (1.10), (1.11), ток через RH и выделяемую в нагрузке мощность можно найти из вы ражений

С уменьшением Rн ток нагрузки и выделяемая в ней мощность неограниченно возрастают. Вследствие этого источник напряжения иногда называют источником бесконечной мощности*.

Рис. 1.13. Подключение нагрузки к источнику напряжения

Идеальный источник тока

Идеальный источник тока (источник тока) — это идеализированный актив ный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах. Ток источника (задающий ток)

. 1.28

может быть произвольной функцией времени, в частном случае он может не зави сеть от времени: i(t) = J_ (источник постоянного тока). Внешняя характеристика ис точника постоянного тока показана на рис. 1.14, а.

При J_ = 0 внешняя характеристика источника тока совпадает с осью напряже ний. Таким образом, внешняя характеристика источника тока J_ = 0 совпадает с ВАХ линейного сопротивления R = ∞.

Условное графическое изображение источника тока приведено на рис. 1.14, б. Двойная стрелка на рисунке показывает направление тока внутри источника. У ис точников постоянного тока это направление совпадает с направлением перемеще ния положительных зарядов внутри источника, т. е. с направлением от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

* Предельный случай, когда RH = 0 (режим короткого замыкания источника), исключается из рассмотрения, так как при этом возникает противоречие: с одной стороны, при RH =0 выводы источ ника закорочены и, следовательно, напряжение источника должно равняться нулю, с другой сторо ны, в соответствии с определением, напряжение источника ЭДС не зависит от тока источника, и, сле довательно, при RH =0 , когда i=∞, напряжение источника должно равняться e(t).

38

Ток источника тока и напряжение источника напряжения являются пара­ метрами идеализированных активных элементов подобно тому, как сопротив­ ление, емкость и индуктивность являются параметрами одноименных идеали­ зированных пассивных элементов.

Рис. 1.14. Идеальный источник тока:

а — внешняя характеристика источника постоянного тока; б — условное графическое изо бражение

Если к внешним выводам источника тока подключить нагрузку RH (рис. 1.15), то, согласно (1.9), (1.11), напряжение на нагрузке и выделяемую в ней мощность можно определить из выражений

С увеличением RH напряжение на нагрузке и выделяемая в ней мощность неог раниченно увеличиваются, поэтому источник тока, так же как и источник напряже ния, является источником бесконечной мощности*.

Рис. 1.15. Подключение нагрузки к источнику тока

Зависимость тока источника тока от напряжения имеет такой же вид, как и за висимость напряжения источника напряжения от тока, поэтому эти источники яв ляются дуальными элементами.

* Предельный случай, когда RH =∞ (режим холостого хода источника), исключается из рассмот рения, так как при этом возникает противоречие: с одной стороны, при RH= ∞ напряжение на выходе источника бесконечно велико, цепь нагрузки фактически разорвана и ток источника должен рав няться нулю, с другой стороны, в соответствии с определением источника тока, ток источника не за висит от напряжения на его зажимах и при u= ∞, также должен равняться j(t).

39

Схемы замещения реальных источников

Идеальные источники тока и напряжения можно рассматривать как упрощен ные модели реальных источников энергии. При определенных условиях, в доста точно узком диапазоне токов и напряжений, внешние характеристики ряда реаль ных источников энергии могут приближаться к характеристикам идеализирован ных активных элементов. Так, внешняя характеристика гальванического элемента в области малых токов имеет вид, близкий к внешней характеристике источника на пряжения (см. рис. 1.12, б), а внешняя характеристика выходного каскада на транзи сторе в определенном диапазоне напряжений приближается к внешней характери стике источника тока (см. рис. 1.14, а).

В то же время свойства реальных источников энергии значительно отличаются от свойств идеализированных активных элементов. Реальные источники энергии обладают конечной мощностью; их внешняя характеристика, как правило, не парал лельна оси токов или оси напряжений, а пересекает эти оси в двух характерных точ ках, соответствующих режимам холостого хода и короткого замыкания (иногда в ис точниках энергии применяют специальные виды защиты, исключающие работу в предельных режимах или в одном из них).

С достаточной для практики точностью внешние характеристики большинства реальных источников энергии могут быть приближенно представлены прямой ли нией, пересекающей оси токов и напряжений в точках 1 и 2 (рис. 1.16, а):

соответствующие режимам холостого хода и короткого замыкания источника. Ис точники, имеющие линейную внешнюю характеристику, в дальнейшем будем назы вать линеаризованными источниками энергии*.

Рис. 1.16. Внешняя характеристика (а), последовательная (б) и параллельная (в) схемы за мещения линеаризованного источника

Покажем, что линеаризованный источник энергии может быть представлен моделирующей цепью, состоящей из идеального источника напряжения Е_ и внут реннего сопротивления Ri или идеального источника тока J_ и внутренней проводи

* В литературе такие источники, не вполне удачно, называютреальными.

40

мости Gi . Действительно, уравнение прямой, проходящей через две точки с коорди натами

i1, u1 и i2, u2, имеет вид

. 1.32

Подставляя (1.30), (1.31) в (1.32) и представляя напряжение u как функцию то ка i, находим аналитическое выражение для внешней характеристики линеаризо ванного источника:

В соответствии с (1.33) напряжение линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая ux имеет размерность напряжения и не зависит от тока источника. Ее можно интерпретировать как напряжение некоторого идеального ис точника напряжения с ЭДС Е_ = ux. Вторая составляющая напряжения источника (ux/iк) i прямо пропорциональна току. Ее можно рассматривать как напряжение на некотором сопротивлении Ri = ux/iк, ток которого равен току источника i (это сопро тивление в дальнейшем будем называть внутренним сопротивлением источни­ ка). Итак, уравнению (1.33) может быть поставлена в соответствие схема замещения линеаризованного источника, изображенная на рис. 1.16, б. Такая схема замещения получила название последовательной. Можно убедиться, что зависимость напря жения на зажимах этой цепи от тока определяется уравнением

. 1.34

равносильным уравнению (1.33), и, следовательно, внешняя характеристика цепи имеет вид, показанный на рис. 1.16, а.

Из анализа выражения (1.34) следует, что при фиксированном Е_= ux с умень шением внутреннего сопротивления, источника Ri, внешняя характеристика линеа ризованного источника приближается к внешней характеристике идеального ис точника напряжения (рис. 1.17, а). При Ri =0 источник с линейной внешней характе ристикой вырождается в идеальный источник напряжения.

Таким образом, идеальный источник напряжения можно рассматривать как источник энергии, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

Рассмотрим другую схему замещения линеаризованного источника, в которой содержится идеальный источник тока. Для этого, используя (1.32), выразим ток i как функцию напряжения на зажимах источника:

41

Рис. 1.17. Внешние характеристики источников с Ri4>Ri3>Ri2>Ri1=0 (а)

и Gi4>Gi3>Gi2>Gi1=0 (б)

Как следует из выражения (1.35), ток линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая iк не зависит от напряжения на зажимах источника. Ее можно рассматривать как ток некоторого идеального источника тока J_ = iк. Вторая составляющая тока (iк/ux)u прямо пропорциональна напряжению на зажимах ис точника, поэтому ее можно интерпретировать как ток через некоторую (внутрен­ нюю) проводимость Gi = Ri­1 = iк/ux, к которой приложено напряжение u. Таким обра зом, выражению (1.35) можно поставить в соответствие схему замещения, изобра женную на рис. 1.16, в. Такая схема замещения называется параллельной.

Зависимость между током и напряжением на зажимах соответствующей моде лирующей цепи определяется уравнением, равносильным уравнению (1.35):

. 1.36

Из уравнения (1.36) следует, что при неизменном J_ = iк с уменьшением внут ренней проводимости источника Gi внешняя характеристика линеаризованного ис точника приближается к внешней характеристике идеального источника тока (рис. 1.17, б). В пределе, при Gi = 0, линеаризованный источник энергии вырождается в идеальный источник тока.

Таким образом, идеальный источник тока можно рассматривать как ис­ точник энергии с бесконечно малой внутренней проводимостью (бесконечно большим внутренним сопротивлением).

Рассмотренные схемы замещения линеаризованного источника были получе ны из уравнения (1.32), имеют одну и ту же внешнюю характеристику и, следова тельно, их поведение относительно внешних зажимов совершенно одинаково. Вы бор той или иной схемы замещения может быть сделан совершенно произвольно, однако в процессе исследования цепи может возникнуть необходимость перехода от одной схемы замещения к другой. Используя выражения (1.33) — (1.36), можно най ти формулы перехода от последовательной схемы замещения к параллельной

и от параллельной схемы к последовательной

42