Рис. Т1.16
1.32р. Для цепи, схема которой приведена на рис. Т1.15, составьте дифферен циальное уравнение относительно тока.
Рис. Т1.17
1.33. Решите задачу 1.32р, заменив источник напряжения источником тока.
Решения и методические указания
1.22р. На основания первого закона Кирхгофа можно составить уравнения ба ланса токов для всех узлов рассматриваемой цепи:
–i 1 + i 2 + i 3 = 0;
–i 2 + i 6 + i 7 = 0;
–i 3 – i 4 + i 5 = 0;
–i 5 – i 7 + i 8 = 0;
i 1 –i 9 = 0;
69
i 4 – i 6 – i 8 + i 9 = 0.
Полученные уравнения являются зависимыми, так как любое из них можно по лучить, суммируя остальные уравнения и умножая обе части полученного равенства на – 1.
1.25р. Расширенный и сокращенный графы цепи изображены соответственно на рис. Т1.18, a, б. При переходе от расширенного графа цепи к сокращенному устра нен узел 5, а ветви 1 и 9 заменены одной ветвью 1.
Рис. Т1.18
1.26р. Некоторые из различных деревьев графа приведены на рис. Т1.19, a – г. Главные контуры графа, соответствующие дереву, изображенному на рис. Т1.19, а, приведены на рис. Т1.20, a – г.
Рис. Т1.19
1.27р. Линии сечения, соответствующие главным сечениям графа, показаны на рис. 1.21. Номера линий сечения совпадают с номерами соответствующих ветвей де рева. Ветви дерева показаны сплошными линиями, а главные ветви – штриховыми. Как видно из рис. Т1.21, в главное сечение 1 входят ветви 1, 3, 6, 7, в главное сечение 2 – ветви 2, 6, 7, в главное сечение 4 – ветви 3, 4, 5; в главное сечение 8 – ветви 5, 7, 8.
70
Рис. Т1.20
Рис. Т1.21
1.28р. При использовании расширенного топологического описания цепи рис. Т1.22, а каждый из идеализированных элементов цепи рассматривается в качестве
отдельной ветви. В данном случае число ветвей, входящая в цепь |
р |
= 6, число узлов |
||||||||||||||||||||||||||
q |
= 4, число ветвей, содержащих источник тока |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ит = 1, число ветвей, составленных |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= 1. Общее число неизвестных токов и напря |
|||||||||||||
только из источниковpнапряжения ин |
||||||||||||||||||||||||||||
жений ветвей равно 2 |
|
– |
p |
p |
ин |
= 10.mДля данной цепи при расширенном топологи |
||||||||||||||||||||||
|
|
ит – |
|
|||||||||||||||||||||||||
ческом описании можноi 1 i 2 |
составитьi 4 i 6 |
= q |
|
1 = 3i 4независимыхi 5 |
iуравнения1 j |
баланса |
||||||||||||||||||||||
i 2 i–3 |
||||||||||||||||||||||||||||
токов, например, – |
+ |
|
|
+ |
+ |
|
= 0; – |
+ |
|
= 0, |
+ = 0 , где |
|
= , а |
1также2 |
n = p |
– |
||||||||||||
q |
3uнезависимых4 e 2 3 |
|
уравнения6 |
1балансаj |
напряжений, например, |
u |
+ |
u |
+ |
u |
= 0; |
|||||||||||||||||
u 2+ 1u=3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
+ |
– = ; |
u |
+ |
u |
– |
u |
= 0, где |
u |
= |
u . |
Здесь номера и направления напряжений |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ветвей совпадают с номерами и направлениями соответствующих токов. Основная система уравнений электрического равновесия включает шесть указанных ранее
71
топологических |
уравнений и |
четыре компонентных уравнения: |
; |
|
1.29/р. |
; |
; |
/ . |
(рис. |
|
При |
использовании сокращенного топологического описания |
||
Т1.22, б) группы последовательно включенных элементов рассматриваются в каче
стве отдельных ветвей. В данном случае число ветвей цепи |
р |
= 4, число узлов |
q |
= 2, а |
||||||||||||||||||||||||||||||||
число ветвей, содержащих источник тока, |
р |
ит = |
р1. В цепи нет ветвей, составленных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только из источников напряжения, поэтому |
ин = 0. Для рассматриваемойi i i |
|
iцепи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
можноi |
составитьj |
одно независимое уравнение баланса токов – 1 + 2 – 3 |
|
+ |
|
4 = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
где |
1 |
= , три независимыхj |
уравнения баланса напряжений |
u |
u |
2 |
= 0; |
u |
2 |
+ |
u |
3 |
= 0; |
|||||||||||||||||||||||
1 + |
|
i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
u |
+ |
u |
4 |
= 0, |
|
где |
u |
1 |
= |
u |
, а также три компонентных уравнения |
u |
2 |
= |
R |
|
+ |
Ldi |
/ |
dt |
; |
|||||||||||||||
i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
4 = |
Cdu |
4 / |
dt |
; |
u |
3 = |
R |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 – e . Таким образом, общее число неизвестных токов и напряже |
||||||||||||||||||||||||||||
ний и соответственно общее число уравнений, входящих в основную систему урав нений электрического равновесия цепи, 2p – pит – pин уменьшилось по сравнению с расширенным топологическим описанием с 10 до 7 (число уравнений баланса токов уменьшилось на 2, а число компонентных уравнений уменьшилось на 1). Обращаем внимание на то, что при переходе от расширенного топологического описания к со кращенному числу независимых уравнений баланса напряжений не изменилось, а компонентные уравнения второй и третьей ветвей существенно усложнились.
Рис. Т1.22
1.32р. Дифференциальное уравнение цепи относительно тока i3 получается пу тем дифференцирования и исключения остальных неизвестных из основной систе мы уравнений электрического равновесия данной цепи, составленной при решении задачи 1.24:
.
72