. 5.33
Подставляя (5.32) в (5.33) и выполняя очевидные преобразования, получаем
Здесь s(1) и s(2) — реакции рассматриваемого нелинейного сопротивления на воздействие каждой из составляющих x(t) в отдельности:
1 |
cos |
1 |
cos2 |
; |
|
2 |
2 |
|
1 |
cos |
1 |
cos2 |
. |
5.35 |
2 |
2 |
Из выражений (5.34), (5.35) следует, что реакция нелинейного сопротив ления на одновременное воздействие двух гармонических колебаний различ ных частот не равна сумме реакций на воздействие каждого из гармонических колебаний в отдельности и содержит помимо постоянной составляющей и гар монических составляющих с частотами ω1, ω2, 2ω1, 2ω2 колебания суммарной ω1 + ω2 и разностной ω1 ― ω2 частот, которые называются колебаниями комби национных частот.
Способность нелинейных резистивных элементов преобразовывать частоту воздействующих колебаний с образованием постоянной составляющей и колебаний кратных и комбинационных частот широко применяется на практике для построе ния различных радиотехнических устройств, таких, как преобразователи частоты, смесители, модуляторы и демодуляторы.
Если функционирование устройства не связано с использованием нелинейных преобразований воздействующих колебаний, то нелинейность ВАХ реальных эле ментов приводит к искажению формы воздействующих колебаний. Такие искаже ния называются нелинейными.
Количественно нелинейные искажения оцениваются с помощью коэффициен
та гармоник
г,
определяемого как отношение корня квадратного из суммы квадратов действующих значений всех гармонических составляющих А2, А3, А4, …, кроме первой, к действую
щему значению первой (основной) гармоники A1.
Вопросы для самопроверки
1.Может ли реакция НРЭ на гармоническое внешнее воздействие определенной частоты тоже быть гармонической функцией той же частоты: 1) в общем слу чае; 2) в некоторых специальных случаях?
440
2.Какова структура реакции НРЭ на гармоническое внешнее воздействие опре делённой частоты? Перечислите и разъясните относящиеся к этому вопросу термины и идеи (первая гармоника, высшие гармоники и др.)
3.Воздействие на НРЭ с известной ВАХ представляет собой сумму постоянной и гармонической составляющих. Какие действия необходимо выполнить, чтобы определить реакцию НРЭ различными методами: 1) графическим; 2) анали тическим?
4.Пусть внешнее воздействие на НРЭ содержит гармоническую составляющую определённой частоты . Зависят ли частоты гармонических составляющих реакции цепи на это воздействие от существования постоянной составляю щей воздействия? Если да, то почему и как?
5.Частоты гармонических составляющих реакции НРЭ на внешнее гармониче ское воздействие зависят от типа полиномиальной аппроксимации ВАХ. Воз можны ситуации: 1) полином чётный и 2) полином нечётный. Какие гармони ки содержит реакция? Какое практическое значение имеет выявленная Вами закономерность?
6.Каков смысл понятий, относящихся к сопротивлению: 1) статическое сопро
7. |
тивление ст; 2) дифференциальное сопротивление |
диф? |
Могут ли сопротивления |
ст и |
диф отличаться по значению друг от друга на |
|
порядок? на несколько порядков? Ответ проиллюстрируйте примерами ВАХ. |
8. |
Имеет ли этот эффект практическую ценность? |
ст>> диф. |
Нарисуйте ВАХ, для которых в определённой области |
9. |
Выполните задание 8 для |
ст << |
диф. |
|
10.Какой смысл вкладывается в понятие «режим малого сигнала» и «режим большого сигнала» при анализе НРЦ?
11.Укажите смысл, последовательность и содержание операций при анализе НРЦ на основе режимов малого и большого сигналов.
12.Пусть воздействие на НРЭ представляет собой сумму двух гармонических со
ставляющих с частотами и > . Каков частотный состав реакции НРЭ на это воздействие?
13.Что такое комбинационные частоты, как они возникают и от чего зависят?
14.Чем комбинационные частоты отличаются от частот воздействия на НРЭ?
15.Какую практическую ценность для радиотехнических устройств имеет спо собность НРЭ формировать колебания с частотами, которые отличаются от частот воздействия, а именно: 1) высшие гармоники; 2) комбинационные?
16.Что такое нелинейные искажения колебаний, когда и как они возникают и в чём проявляются?
Задачи
5.33р. К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого приведена на рис. Т5.10, а, приложено напряжение 0,25 0,2 cos2 10 В. Используя гра фические методы, определите зависимость тока через элемент от времени.
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5.34м. Ток через нелинейный резистивный элемент с ВАХ |
2·10 |
4· |
2,5·10 |
В равен |
cos10 А. Определите амплитуды всех гармоник |
напряжения на элементе до 3 ей включительно для |
6·10 А. |
|
|
5.35м. По данным задачи 5.34м. определите, в каком диапазоне амплитуд тока дифференциальное сопротивление элемента можно с точностью до 5% считать независящим от тока.
5.36р. Постройте ВАХ безынерционного нелинейного резистивного элемента , если воздействие sin ⁄4 и реакция заданы графиками, пред
ставленными на рис. Т5.21, а, б.
5.37м. Решите задачу 5.36р, если ,воздействие. |
и реакция |
заданы гра |
фиками, изображенными на рис. Т5.22, а б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.38. |
Рис. Т5.21 |
резистивного |
элемента |
Рис. Т5.22 |
. |
|
ВАХ нелинейного |
|
описывается выражением |
|
Покажите, что гармоническое напряжение |
|
cos , приложенное к |
элементу, вызывает в нем негармонический ток. |
|
|
5.39. |
ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимирована полиномом |
|
|
. Найдите частоты всех составляющих. |
тока, если к элементу прило |
жено напряжение: а) |
cos |
;б) |
cos 0 |
|
|
5.40. Решите задачу 5.39 для случая, когда ВАХ аппроксимирована полиномом
.
5.41.К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого описывается по
линомом , приложено напряжение cos . При ка ком условии постоянная составляющая тока через элемент не зависит от амплитуды приложенного к нему напряжения?
5.42м. К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого определяется функцией 0,2 1 мА, приложено напряжение 0,5 0,05cos10 В. Найдите амплитуды первых трех гармонических составляющих тока через элемент.
мом |
5.43. ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимирована полино |
50 4 |
1,5 мА. К элементу приложено напряжение |
4 |
cos10 В. |
Найдите зависимость амплитуды первой гармоники тока |
от амплитуды пере |
менной составляющей напряжения . |
|
|
|
442 |
|
|
|
5.44.К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого аппроксимиро
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вана полиномом |
20 2 |
0,5 |
0,04 мА, |
приложено напряжение |
2 |
cos10 В. Определите зависимость амплитуды первой. |
гармоники тока |
от |
амплитуды переменной составляющей напряжения |
|
|
|
|
5.45. |
На нелинейный резистивный элемент с ВАХ |
30 5 |
2 мА дей |
ствует напряжение |
|
cos10 В. Определите зависимость амплитуды пер |
вой гармоники тока |
от напряжения смещения |
при фиксированной амплитуде |
переменной составляющей напряжения |
3 В. |
|
|
|
|
5.46.Для цепи рис. Т5.23 ВАХ нелинейного резистивного элемента описыва
ется выражением |
2 4 |
5 |
мА. ЭДС источников напряжения, действующих в |
цепи, заданы: |
2cos2 |
10 |
В; |
2 В const. Вычислите амплитуды гар |
монических составляющих тока . |
|
|
5.47р. |
Рис. Т5.23 |
|
пряжение |
К нелинейному резистивному элементу приложено гармоническое на |
3cos2 10 В. Какой должна быть ВАХ этого элемента, чтобы че |
рез него протекал гармонический ток |
18cos4 10 мА? |
5.48.Найдите аналитическое выражение для ВАХ нелинейного резистивного элемента, который обеспечивает преобразование синусоидального воздействия
вбесконечную последовательность треугольных импульсов (см. задачу 5.36р).
5.49.К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого ап
|
|
|
|
|
|
|
проксимирована |
полиномом |
второй степени |
, приложено на |
пряжение |
∑ |
cos |
. Найдите амплитуды гармонических составляющих |
тока.Решения и методические указания |
|
, при |
5.33р. Графические построения. |
, необходимые для получения кривой |
ведены на рис. Т5.24, а — г Обратите внимание. |
на необходимость согласования |
масштабов графиков по переменным |
, , |
|
|
5.34м. Используйте формулы (5.22) (5.25) и учтите, что ВАХ описывается не четным полиномом, поэтому четные гармоники напряжения отсутствуют.
|
|
|
|
|
|
|
диф |
5.35м. |
Для ВАХ |
5 |
Рис. Т5.24 |
дифференциальное сопротивление |
d ⁄d |
3 |
. Отсюда можно найти, при каких значениях тока |
отклонение |
диф от уровня |
|
в бόльшую или мéньшую сторону не превышает |
5 %. |
5.36р. Построение характеристики |
показано на рис. Т5.25, а — г. Обратите |
внимание на необходимость согласования масштабов графиков по переменным
, , .
5.37м. |
|
Рис. Т5.25 |
|
5.42м. |
Задача решается аналогично задаче 5.36р. |
|
Разложите функцию |
в ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки |
0,5 В и, ограничиваясь первыми тремя членами, получите полином второго по |
рядка, который аппроксимирует ВАХ при |
. |
444 |
|
|
|
5.47р. Гармоническое напряжение |
∑ |
cos , |
приложенное к нелиней |
ному резистивному |
элементу с ВАХ |
, |
вызывает в нем ток |
∑ |
cos |
. По условию задачи |
0, |
0 |
1,3,4,…, , а |
задана. Выразим амплитуды гармонических составляющих тока через коэф
фициенты |
и амплитуду напряжения |
|
|
и решим полученную систему уравнений |
относительно коэффициентов |
: |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
... 0; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
8 |
|
5 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
0; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
15 |
|
|
... |
|
; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0. |
|
|
n |
полинома, описыва |
|
Решение этой системы уравнений при высоких степенях |
|
ющего ВАХ, затруднительноn. Поэтому ограничимся. |
рассмотрением простейшего |
случая квадратичной ВАХ ( =2): , |
откуда |
В |
результате |
получим |
0,5 |
0; |
0; |
2 ⁄ |
|
. Требуемая ВАХ имеет вид |
|
2 |
⁄ |
. При |
3 В; |
|
|
18 MA имеем |
18 |
4 |
MA. |
