Из соотношений (7.2) и (7.3) следует, что у многополюсника, имеющего N внеш­ них выводов, можно выделить не более N — 1 независимых сторон. В частности, че тырехполюсник имеет не более трех независимых сторон (см. рис. 7.2).

Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников

Основными уравнениями многополюсника называются соотношения, опре деляющие связь между токами и напряжениями на его внешних выводах. Коэффи циенты, входящие в основные уравнения, называются первичными параметрами многополюсника. В зависимости от схемы включения и того, какие величины вы браны в качестве независимых, а какие — в качестве зависимых переменных, каж дому многополюснику можно поставить в соответствие различные системы основ ных уравнений и соответственно различные системы первичных параметров. Если определитель системы основных уравнений многополюсника не равен нулю, то та кая система уравнений называется определенной, в противном случае система ос новных уравнений является неопределенной. Матрица коэффициентов системы основных уравнений, определитель которой равен нулю, называется особенной или неопределенной матрицей первичных параметров многополюсника.

Несмотря на то, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон N — 1, для описания многополюсников широко используют неопределенные системы основных уравнений, соответствующие обобщенным (неопределенным) схемам включения многополюсников (рис. 7.3), число уравнений в которых равно числу внешних выводов многополюсника N. Это позволяет применять достаточно простые методы формирования уравнений элек трического равновесия цепей с многополюсными элементами. В то же время, зная неопределенные матрицы первичных параметров многополюсника, легко получать определенные матрицы в любой схеме включения.

Рассмотрим линейный неавтономный многополюсник, находящийся под гар моническим внешним воздействием. Пусть напряжения всех выводов многополюс ника относительно базисного задаются с помощью независимых источников напря жения (рис. 7.4, а). В соответствии с принципом наложения ток каждого вывода ра вен сумме частичных токов, вызванных действием каждого независимого источника напряжения в отдельности:

578

…

…

… … … …

…

в правой части уравнений (7.7) называется неопределенной матрицей проводи­ мостей или неопределенной матрицей Y­параметров многополюсника. Ее мож но рассматривать как обобщенный параметр многополюсника, устанавливающий связь между вектором токов выводов многополюсника и вектором напряжений этих выводов относительно некоторого базисного узла. Элементы матрицы Yij определя ются в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов короткого замыкания, которые могут проводиться как экспериментальным, так и расчетным путем.

Пример7.1.Найдем неопределенную матрицу Y параметров полевого транзистора, схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала изображена на рис. 1.19, б.

Присвоим выводу затвора полевого транзистора номер 1, стока — 2, истока — 3. Со ставим комплексную схему замещения рис. 7.5, а , на которой элементы, входящие в схему замещения для мгновенных значений, представлены их комплексными проводимостями:

Y1 jωCзи; Y2 jωCзс; Y3 Gi jωCси;

Основная система уравнений рассматриваемого многополюсника в форме Y:

содержит девять неизвестных коэффициентов Y параметров полевого транзисто ра . Для их нахождения рассчитаем токи транзистора в режимах короткого замыкания на различных парах выводов.

Рис. 7.5. К примеру 7.1

Схема опыта короткого замыкания для определения параметров Y11, Y21, Y31, входя щих в первый столбец неопределенной матрицы проводимостей, приведена на рис. 7.5, б. Используя эту схему, найдем частичные токи первого, второго и третьего выводов транзи

580

комплексных сопротивлений, определенных в режиме, когда все источники тока, кроме выключены (рис. 7.6, б).

Рис. 7.6. К выводу основных уравнений многополюсника в форме Z

Заменяя в уравнениях (7.11) источники тока контурными токами соответст вующих контуров и используя матричную форму записи, получаем основные урав нения многополюсника в форме Z:

Квадратная матрица

…

…

… … … … ,

…

стоящая в правой части уравнений (7.14), называется неопределенной матрицей сопротивлений или неопределенной матрицей Z­параметров многополюсника.*

Неопределенную матрицу сопротивлений Zij можно рассматривать как обоб щенный параметр многополюсника, устанавливающий связь напряжений между

* Неопределенные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника Zij и Yij не следу ет путать с матрицами контурных сопротивлений Z(ij), и узловых проводимостей Y(ij).

583

выводами многополюсника с контурными токами внешних по отношению к нему контуров. Элементы неопределенной матрицы сопротивлений определяются в со ответствии с их физическим смыслом по результатам опытов холостого хода, при чем сумма элементов каждого столбца и сумма элементов каждой строки матрицы Zij равны нулю.

Пример7.2.Найдем неопределенную матрицу сопротивлений биполярного транзи стора, низкочастотная схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала приведена на рис. 1.19, а.

Рис. 7.7. К примеру 7.2

Присвоим выводам эмиттера, коллектора и базы номера 1, 2, 3 и построим ком плексную схему замещения транзистора, на которой укажем положительные направления напряжений между выводами и положительные направления контурных токов внешних по отношению к транзистору контуров рис. 7.7, а . Основная система Уравнений рассматри ваемого многополюсника в форме Z

содержит девять неизвестных коэффициентов ― Z параметров транзистора, для определения которых необходимо произвести три опыта холостого хода. Схемы опытов хо лостого хода, позволяющих найти частичные напряжения между выводами транзистора, вызванные действием каждого из источников тока , , , в отдельности, приведены на рис. 7.7, б г. Отношения частичных напряжений к токам, вызвавших их ис точников тока согласно 7.12 , 7.13 , представляют собой искомые параметры:

584

основные уравнения многополюсника сохраняют такую же структуру, как и при гармоническом воздействии, причем его токи и напряжения представляются опера торными изображениями, а в выражениях для первичных параметров jω заменяется на р.

Таким образом, первичные параметры линейного неавтономного многополюс­ ника в общем случае являются функциями комплексной частоты р.

В связи с тем, что сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей равны нулю, столбцы и строки этих матриц линейно зависимы. Следовательно, определители матриц Zij и Yij равны нулю и системы уравнений (7.7) и (7.14) не могут быть разре шены относительно напряжений полюсов или токов внешних контуров соот ветственно.

Анализируя структуру основных уравнений многополюсника, нетрудно уста новить, что k му полюсу многополюсника соответствует k я строка и k й столбец неопределенной матрицы проводимостей, а k й стороне многополюсника (k му контуру, образованному одной из сторон многополюсника и остальной частью цепи)k ­ я строка и k й столбец неопределенной матрицы сопротивлений.

Изменение нумерации полюсов или сторон многополюсника не вызывает изме­ нения элементов неопределенных матриц, а приводит только к перестановке соот­ ветствующих строк и столбцов. Так, при взаимной замене номеров двух каких либо полюсов многополюсника необходимо поменять местами строки и переставить столбцы матрицы Yij, имеющие соответствующие номера. Аналогично при взаимной замене, номеров двух каких либо сторон необходимо произвести перестановки со ответствующих строк и перестановки соответствующих столбцов матрицы Zij.

Пример7.3.Найдем неопределенную матрицу проводимостей полевого транзисто ра, рассмотренного в примере 7.1 в том случае, когда выводам затвора, стока и истока при своены соответственно номера 2, 3 и 1 напомним, что в примере 7.1 этим выводам были присвоены номера 1, 2 и 3 .

Неопределенная матрица проводимостей, соответствующая такой нумерации вы водов, может быть получена способом, приведенным в примере 7.1, однако этот способ весьма трудоемок.

В то же время для решения задачи достаточно в матрице проводимостей, получен ной в примере 7.1, поставить первый столбец на место второго, второй — на место третьего, третий — на место первого, первую строку перенести на место второй, вторую — на место третьей, а третью — на место первой, причем последовательность выполнения перестано вок не имеет значения. в результате получим

1 2 3

1

2 .

3

586

С помощью неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей линей ного неавтономного многополюсника можно получить матрицы первичных пара метров, соответствующие различным схемам включения этого многополюсника.

Пусть какой либо вывод многополюсника, например с номером N, соединен с базисным узлом (выбран в качестве общего или базисного узла). Тогда напряжение

. Исключая из системы уравнении (7.7) уравнение для тока вывода N, кото рый равен сумме токов остальных выводов, взятой с противоположным знаком, по лучаем систему основных уравнений многополюсника в рассматриваемой схеме

путем вычеркивания столбца и строки, соответствующих базисному полюсу. Сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждого столбца матрицы не рав

ны нулю. Определитель этой матрицы, как правило, не равен нулю, и, следователь но, система уравнений (7.15) может быть разрешена относительно напряжений по люсов .

Пример7.4.Найдем матрицы Y параметров полевого транзистора, включенного по схеме с общим истоком и по схеме с общим затвором.

Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора приведена в при мере 7.1. Вычеркивая из этой матрицы третью строку и третий столбец, получаем матрицу Y параметров транзистора с общим истоком:

12

Вычеркивая из неопределенной матрицы первую строку и первый столбец, нахо дим матрицу Y параметров полевого транзистора в схеме с общим затвором:

587

общим k м выводом, можно найти неопределенную матрицу проводимостей этого

столбцом, элементы которых выбирают из условия равенства нулю суммы элемен тов каждой строки и каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей.

С учетом вышесказанного, нетрудно установить, что для перехода от матрицы Y параметров многополюсника, включенного по схеме с общим k выводом, к мат рице Y параметров многополюсника с общим м выводом необходимо сначала до

полнить матрицу k й строкой и k м столбцом, элементы которых выбирают из

условия равенства нулю суммы элементов каждого столбца и каждой строки неоп ределенной матрицы проводимостей, а затем вычеркнуть из полученной матрицый столбец и ю строку.

Пример7.5.Определим матрицу Y параметров биполярного транзистора б , вклю

ченного по схеме с общей базой, по известной матрице Y параметров этого транзистора в схеме с общим эмиттером:

Дополняя матрицу э строкой и столбцом, соответствующими выводу эмиттера

и вычеркивая строку и столбец, соответствующие выводу базы, получаем матрицу проводимостей биполярного транзистора в схеме с общей базой:

Если два каких либо вывода многополюсника, например с номерами k и N объ единяются в один полюс, которому присваивается номер k, то напряжение этого по люса относительно базисного узла равно , а его ток равен сумме токов k го и N го выводов. При этом в основной системе уравнений многополюсника (7.7) уравнения для токов k го и N го выводов

588

Следовательно, при объединении k го и N го полюсов в один k й полюс k я и N я строки неопределенной матрицы проводимостей многополюсника суммируются и становятся k й строкой, а k й и N й столбцы суммируются и образуют k й столбец.

Пример7.6.Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника А,при веденного на рис. 7.8, а,

1 2 3 4

1

А 2 , 3

4

определим неопределенную матрицу проводимостей YijБ нового многополюсника Б, получающегося из исходного в результате объединения полюсов 3 и 4 рис 7.8, б . Основные уравнения исходного многополюсника в форме Y имеют вид

;

;

;

.

Рис. 7.8. К примерам 7.6 и 7.7

У многополюсника, полученного из исходного путем объединения выводов 3 и 4, напряжение объединенного вывода равно , а ток — сумме токов третьего и четвертого выводов исходного многополюсника:

589

;

;

,

или в матричной форме

1

2 Б .

3

Таким образом, элементы третьей строки и третьего столбца матрицы YijБ действи тельно равны сумме соответствующих элементов третьей и четвертой строк и третьего и четвертого столбцов неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника.

Если какой либо вывод многополюсника, например N й, не используется при его соединении с остальной частью цепи, т. е. является внутренним узлом многопо люсника, то ток этого вывода

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17

Система уравнений (7.17) может быть представлена в матричной форме

590

получается из неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника путем вычеркивания N й строки и N го столбца и замены остальных элементов новыми определяемыми с помощью соотношения

Пример7.7.Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника, при веденного на рис.7.8, а см. пример 7.6 , найдем неопределенную матрицу проводимостей В многополюсника, который получается из исходного, если полюс 4 становится внутрен

ним рис. 7.8, в .

Неопределенная матрица проводимостей многополюсника, приведенного на рис.7.8, в, формируется из неопределенной матрицы проводимостей исходного многопо люсника путем вычеркивания строки 4 и столбца 4, а также замены остальных элементов новыми, рассчитанными с помощью выражения 7.18 :

Нетрудно убедиться, что сумма элементов любой строки и сумма элементов любого столбца матрицы В равны нулю.

Рассматривая основные уравнения многополюсника в форме Z, можно устано вить, что при размыкании какого либо из внешних по отношению к многополюсни ку контуров, например k го (контурный ток этого контура становится равным нулю), из неопределенной матрицы сопротивлений многополюсника вычеркивают k ю строку и k й столбец. Полученная в результате этого матрица сопротивлений

как правило, не является особенной, поэтому основная система уравнений мно

гополюсника, один из внешних контуров которого разомкнут, может быть разреше на относительно токов остальных контуров.

591

В отличие от неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей много полюсника матрицы и , получаемые из матриц и путем вычеркивания

строки и столбца, будем называть укороченными матрицами сопротивлений и

проводимостей многополюсника.

Если какой либо из полюсов многополюсника, например k й, являющийся об щим для k го или го контуров, становится внутренним, то контуры k и объединя ются в один й контур. В этом случае в неопределенной матрице сопротивлений многополюсника вычеркивают k ю строку и k й столбец, а затем к элементам й строки и го столбца прибавляют соответствующие элементы k й строки и k го столбца.

Соотношения между элементами неопределенных матриц проводимо стей и сопротивлений многополюсника

Основные уравнения произвольного линейного неавтономного многополюс ника в формах Y и Z описывают зависимости между токами и напряжениями на за жимах этого многополюсника. Очевидно, что коэффициенты основных уравнений (Y и Z параметры многополюсника) должны быть связаны между собой соотношения ми, позволяющими найти элементы одной из неопределенных матриц многополюс ника по известным элементам другой. Определить эти соотношения путем сопос тавления выражений для одноименных величин, например токов или напряжений полюсов, полученных из уравнений (7.7) и (7.14), невозможно, поскольку матрицы

иявляются особенными и уравнения (7.7) не могут быть разрешены относи

тельно напряжений полюсов, а уравнения (7.14) — относительно токов, внешних по отношению к многополюснику контуров. Однако, как было установлено ранее, уко роченные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника не являются особенными и, следовательно, основные уравнения многополюсника, один из выво дов которого выбран в качестве общего или один из внешних по отношению к кото рому контуров является разомкнутым, могут быть разрешены относительно одно именных величин.

Пример7.8. Определим соотношения между Y и Z параметрами линейного неавто номного трехполюсника рис. 7.9, а . Пусть неопределенная матрица проводимостей этого трехполюсника известна:

1 2 3

1

2 .

3

592

Выберем любой из полюсов трехполюсника, например полюс 3, в качестве общего рис. 7.9, б и найдем соответствующую этому случаю укороченную матрицу проводимо стей:

1 2

1

2 .

Основная система уравнений трехполюсника в данной схеме включения имеет вид

;

. 7.19

.

Здесь

593

а внешние выводы трехполюсника 1, 2 и 3 подключены соответственно к узлам k, и s цепи (рис. 7.10, а), то при изменении нумерации столбцов и строк матрицы (7.24) в соответствии с нумерацией узлов цепи и выборе в качестве базисного узла для от счета напряжений внешних выводов трехполюсника базисного узла рассматривае

Рис.7.10. К обоснованию обобщенного метода узловых напряжений

мой цепи напряжения внешних выводов трехполюсника относительно базисного будут совпадать с узловыми напряжениями соответствующих узлов цепи, а токи внешних выводов трехполюсника могут быть выражены через узловые напряжения исследуемой цепи:

Преобразованная цепь (рис. 7.10, б) содержит только идеализированные двух полюсные элементы и для нее можно составить систему узловых уравнений

595

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; … … … …

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; … … … …

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; … … … …

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; ……… ……… ……… ………

Как следует из (7.27), система узловых уравнений произвольной линейной це пи, содержащей неавтономный трехполюсник, по форме совпадает с системой узло вых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из рассматриваемой цепи путем исключения этого трехполюсника. Матрица столбец узловых токов исходной цепи полностью совпадает с матрицей столбцом узловых токов вспомогательной цепи, а матрица узловых проводимостей рассматриваемой цепи получается из мат рицы узловых проводимостей вспомогательной цепи путем добавления к ее эле ментам, лежащим на пересечении k­, и s­й строк и k­, и s­го столбцов соответст вующих элементов неопределенной матрицы проводимостей неавтономного трех полюсника.

В общем случае исследуемая цепь может содержать не один, а несколько мно гополюсных элементов с произвольным числом выводов. Формирование уравнений электрического равновесия такой цепи согласно обобщенному методу узловых на пряжений производят в следующем порядке:

1)выбирают базисный узел и нумеруют независимые узлы цепи;

2)изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц проводимо стей всех многополюсников в соответствии с нумерацией узлов, к которым подклю чены выводы этих многополюсников;

3)из неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников вычерки вают строки и столбцы, соответствующие тем выводам многополюсника, которые соединены с базисным узлом (элементы этих столбцов и строк не учитывают при формировании узловых уравнений);

597

4)из исследуемой цепи удаляют все многополюсники; для оставшейся вспомо гательной цепи, содержащей только идеализированные двухполюсные элементы, формируют систему узловых уравнений;

5)от узловых уравнений вспомогательной цепи переходят к узловым уравне ниям исходной цепи, для чего последовательно рассматривают все входящие в цепь многополюсники и элементы неопределенных матриц проводимостей многополюс ников суммируют с соответствующими элементами матрицы узловых проводимо стей вспомогательной цепи.

Число независимых уравнений электрического равновесия, формируемых с помощью обобщенного метода узловых напряжений, не зависит от внутрен­ ней структуры входящих в цепь многополюсников и определяется только чис­ лом независимых узлов внешней по отношению к многополюсникам части це­ пи.

Отметим, что обобщенный метод узловых напряжений является весьма уни версальным и не накладывает никаких ограничений на топологию цепи и число входящих в нее многополюсных элементов.

Пример7.9.Составим систему узловых уравнений усилительного каскада на поле вом транзисторе, принципиальная электрическая схема которого приведена на рис. 7.11, а. Используем комплексную схему замещения каскада рис. 7.11, б , где в качестве многопо люсника представлена модель полевого транзистора по переменному току в режиме малого сигнала. Изменяя нумерацию столбцов и строк неопределенной матрицы проводимостей полевого транзистора см. пример 7.1 согласно нумерации узлов рассматриваемой цепи, получаем

Строка и столбец неопределенной матрицы проводимостей, соответствующие вы воду транзистора, соединенному с базисным узлом цепи, могут быть вычеркнуты из матри цы, так как элементы этой строки и этого столбца не учитываются при составлении уравне ний электрического равновесия.

Рис. 7.11. К примеру 7.9

598

Составим систему узловых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из исходной цепи рис. 7.11, б при удалении из нее многополюсного элемента:

Прибавляя к элементам матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи, расположенным на пересечении столбцов 2, 3 и строк 2, 3, соответствующие элементы не определенной матрицы проводимостей полевого транзистора, находим систему узловых уравнений рассматриваемой цепи:

Пример7.10. Используя обобщенный метод узловых напряжений, составим систему уравнений электрического равновесия комбинированного усилителя, содержащего полевой и биполярный транзисторы рис. 7.12, а . Комплексная схема замещения усилителя в диапа зоне низких частот приведена на рис. 7.12, б.

Рис. 7.12. К примеру 7.10

Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора VTA была найдена в примере 7.1.

Для получения неопределенной матрицы проводимостей биполярного транзистора VTБ воспользуемся неопределенной матрицей сопротивлений этого транзистора см. при мер 7.2 и формулами перехода 7.23 :

599

и суммируя элементы неопределенных матриц проводимостей транзисторов с со ответствующими элементами матриц узловых проводимостей этой цепи, получаем оконча тельно

Обобщенный метод контурных токов имеет несколько меньшую универсаль ность, чем обобщенный метод узловых напряжений, и может применяться только при анализе цепей, схема замещения которых является планарной. Формирование уравнений электрического равновесия произвольной линейной цепи, содержащей один или несколько неавтономных многополюсников, в соответствии с обобщен ным методом контурных токов выполняется в такой последовательности:

1)нумеруются все контуры, образуемые внутренними ячейками цепи, направ ление обхода этих контуров выбирают одинаковым — по часовой стрелке;

2)изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц сопротив лений многополюсников в соответствии с нумерацией соответствующих контуров цепи; если одна из сторон многополюсника оказывается не связанной ни с одной из внутренних ячеек цепи, то соответствующим строке и столбцу присваивают номер 0, элементы этих строк и столбцов не учитывают при составлении уравнений элек трического равновесия цепи;

3)из рассматриваемой цепи удаляют все многополюсные элементы, а точки присоединения полюсов каждого из них к остальной части цепи соединяют между собой, образуя один узел: очевидно, что число контуров полученной таким образом вспомогательной цепи равно числу контуров исходной цепи;

4)используя метод контурных токов, формируют систему уравнений электри ческого равновесия вспомогательной цепи, состоящей только из идеализированных двухполюсных элементов;

5)от контурных уравнений вспомогательной цепи переходят к контурным уравнениям исследуемой цепи, для чего элементы неопределенных матриц сопро тивлений многополюсников суммируют с соответствующими элементами матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи.

600

Пример7.11. Используя обобщенный метод контурных токов, составим систему уравнений электрического равновесия усилительного каскада см. рис. 7.11, а , комплексная схема замещения которого приведена на рис. 7.13.

Для формирования системы контурных уравнений необходимо определить матри цу Z параметров полевого транзистора. Воспользуемся для этой цели неопределенной мат рицей проводимостей полевого транзистора см. пример 7.1 и формулами перехода 7.22 :

Рис. 7.13. К примеру 7.11

Нумерация сторон многополюсника, а следовательно, и нумерация строк и столб цов неопределенной матрицы сопротивлений произведена в соответствии с рис. 7.5 и 7.9. Выберем нумерацию контуров рассматриваемой цепи, как указано на рис. 7.13 и соответст венно изменим нумерацию строк и столбцов неопределенной матрицы сопротивлений по левого транзистора:

Удалим из исследуемой цепи многополюсный элемент, точки присоединения его выводов соединим между собой и составим систему контурных уравнений для полученной таким образом вспомогательной цепи

Прибавляя элементы неопределенной матрицы сопротивлений полевого транзи стора, расположенные на пересечении строк 2, 3 со столбцами 2, 3, к соответствующим эле ментам матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи, получаем систему кон турных уравнений исследуемой цепи:

601