Модуль 10.3. Методы формирования уравнений электрического равнове сия, предназначенные для применения в программах автоматизированного ана лиза цепей

Цель модуля: изучение матричных методов формирования уравнений элек трического равновесия цепей.

Методы узловых напряжений и контурных токов

Известно, что метод узловых напряжений основан на том, что напряжения всех ветвей произвольной электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения. В матричной форме зависимость напряжений ветвей от узловых на пряжений определяется соотношением, получившим название узлового преобра­ зования:

где t — транспонированная матрица узлов; , — матрицы столбцы мгновенных значений напряжений ветвей и узловых напряжений.

Пример10.3. Убедимся в справедливости соотношения 10.26 на примере цепи, схема которой приведена на рис. 10.4, а. Матрица узлов этой цепи, соответствующая ее гра фу, изображенному на рис. 10.4, б, имеет вид

Подставляя транспонированную матрицу узлов

Аналогичные соотношения могут быть найдены непосредственно из рассмотрения схемы цепи рис. 10.4, а .

Для формирования системы узловых уравнений воспользуемся компонентным уравнением цепи в форме . Умножая матрицу узлов на каждое из слагаемых, вхо дящих в выражение (10.25), переходим к

876

.

Левая часть этого уравнения представляет собой матричную запись уравнения баланса токов (10.4), поэтому

.

Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения (10.26) и выполняя очевидные преобразования, получаем систему узловых уравнений цепи в матричной форме

10.27

или

. 10.28

Из выражений (10.27) и (10.28) следует, что матрица узловых проводимостей исследуемой цепи и матрица столбец узловых токов

могут быть сформированы с помощью простых алгебраических операций над мат рицей узлов и компонентными матрицами , , . Поскольку компонентные и то пологические матрицы цепи содержат значительное число нулевых элементов, при

но убедиться, что системы узловых уравнений цепи для мгновенных значений (10.28) и узловых уравнений для комплексных действующих значений той же цепи (4.19) имеют одинаковую структуру и могут быть получены одна из другой с помо щью таких же преобразований, которые необходимы для взаимного преобразования компонентных уравнений для мгновенных и комплексных действующих значений.

Пример10.4. Используя выражения 10.29 , сформируем матрицу узловых прово димостей и матрицу столбец узловых токов цепи, схема которой приведена на рис. 10.4, а.

Матраца узлов А и компонентные матрицы цепи Y, , , были получены в примерах 10.2 и 10.3. Подставляя эти матрицы в 10.29 , находим

877

Нетрудно убедиться, что аналогичные выражения могут быть получены и с приме нением рассмотренного в гл. 4 алгоритма, используемого в ручных методах формирования уравнений электрического равновесия.

Для формирования уравнений электрического равновесия цепи с помощью ЭВМ можно воспользоваться и методом контурных токов. Используя компонентное

,

878