Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа

К методам формирования уравнений электрического равновесия цепей, осно ванным на непосредственном применении законов Кирхгофа, относятся метод то ков ветвей и метод напряжений ветвей. В методе токов ветвей (ТВ) в качестве не зависимых переменных, относительно которых составляется сокращенная система уравнений электрического равновесия, используют неизвестные токи ветвей иссле дуемой цепи.

Метод ТВ основан на том, что ток и напряжение каждой ветви, за исключени­ ем ветвей, содержащих идеализированные источники тока, а также ветвей, состав­ ленных только из идеализированных источников напряжения, связаны между собой однозначной зависимостью, которая определяется компонентным уравнением дан­ ной ветви.

Пусть линейная электрическая цепь состоит только из идеализированных двухполюсных пассивных элементов: сопротивлений, емкостей, индуктивностей, а также неуправляемых источников напряжения. Основная система уравнений элек трического равновесия такой цепи содержит q 1 уравнение баланса токов, p — q + 1 уравнение баланса напряжений и р — рин компонентных уравнений для определе ния р неизвестных токов и р—рин неизвестных напряжений ветвей (напряжения рин ветвей, состоящих только из источников напряжения заданы). Если каким либо об разом найти токи всех ветвей, то неизвестные напряжения могут быть получены с помощью р — рин компонентных уравнений. Для определения р неизвестных токов ветвей можно воспользоваться q 1 уравнением баланса токов и p – q + 1 уравнени ем баланса напряжений, выразив в последних напряжения ветвей через соответст вующие токи. Таким образом, для цепи, не содержащей источников тока, примене ние метода ТВ позволяет уменьшить число уравнений, входящих в систему уравне ний электрического равновесия, от 2р— рин до р.

Пример4.1.Составим систему уравнений электрического равновесия методом ТВ для электрической цепи, схема которой, приведена на рис. 4.1, а. Граф этой цепи, соответст вующий сокращенному топологическому описанию, изображен на рис. 4.1,б.

Как видно из рисунка, для данного топологического описания число ветвей р 6, число узлов q 4, причем ни одна из ветвей не содержит источников тока pит 0 и не со ставлена только из источников напряжения pин 0 . Выбирая дерево графа и систему неза висимых контуров в соответствии с рис. 4.1, в д, составим основную систему уравнений электрического равновесия, которая будет включать в себя 12 уравнении, в том числе q 1 3 уравнения баланса токов

0;

0;

0,

p q 1 3 уравнения баланса напряжений

0;

0;

0

313

Далее будет показано, что число ветвей цепи, токи которых могут быть заданы независимо и которые, следовательно, могут содержать источники тока, не превы шает числа главных контуров цепи р — q + 1. Когда pит = p — q + 1, число неизвест ных токов ветвей будет равно q—1 и они могут быть определены из q—1 уравнения баланса токов.

В связи с тем, что напряжения на связанных индуктивностях выражаются через токи этих индуктивностей, метод ТВ может быть применен и для составления урав нений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями (см. при мер 2.17).

Дуальным по отношению к методу ТВ является метод напряжений ветвей (НВ). При составлении системы уравнений электрического равновесия цепи с помо щью этого метода в качестве независимых переменных используют неизвестные напряжения р — рин ветвей. Система уравнений электрического равновесия в этом случае включает в себя р — q + 1 уравнений баланса напряжений и q рин 1 уравне ний баланса токов, составленных для главных сечений, не содержащих ветвей, со стоящих только из источников напряжения, причем неизвестные токи ветвей, вхо дящие в эти уравнения, должны быть выражены через напряжения этих же ветвей. Число ветвей, напряжения которых могут быть заданы независимо, не может пре вышать числа независимых узлов q — 1. В случае, если число ветвей, состоящих только из независимых источников напряжения, равно числу независимых узлов (pин = q — 1) и, следовательно, число неизвестных напряжений ветвей равно числу независимых контуров p — q + 1, неизвестные напряжения всех ветвей могут быть определены из p — q + 1 уравнений баланса напряжений.

Пример4.3.Для цепи, рассмотренной в примере 4.2, составим уравнения электриче

3 уравнения баланса напряжений

;

в последних уравнениях неизвестные токи ветвей выражены через напряжения соответствующих ветвей .

Метод НВ в общем случае нельзя использовать для формирования уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, так как токи

316