рис. 4.35, в и объединим параллельные ветви рис. 4.35, г . Преобразованный граф рис. 4.35, г не содержит смешанных узлов и не подлежит дальнейшему упрощению. Этот граф является конечным.

Рис. 4.35. К примеру 4.20

Применение сигнальных графов к анализу цепей

Применение метода сигнальных графов при анализе цепей оказывается эф фективным в тех случаях, когда требуется найти в аналитической форме ток или напряжение только одной ветви цепи или найти ее комплексные частотные харак теристики.

Как отмечалось ранее, используя различные преобразования, исходный сиг

Трудоемкость преобразования сигнального графа к конечному во многом оп ределяется выбором исходной системы уравнений электрического равновесия и тем, каким образом осуществлен переход от исходной системы уравнений к сиг

386

нальному графу. Для уменьшения числа узлов сигнального графа в качестве исход ной системы уравнений рекомендуется применять систему уравнений электриче ского равновесия цепи, составленную по методу узловых напряжений или контур ных токов, дополнив ее уравнениями, связывающими искомые токи и напряжения с контурными токами или узловыми напряжениями.

Пример4.21. Определим ток 6 цепи, комплексная схема замещения которой приве дена на рис. 4.2, а, преобразуя сигнальный граф этой цепи см. рис. 4.25 в конечный.

Граф, показанный на рис. 4.25, соответствует контурным уравнениям рассматри ваемой цепи, дополненным уравнением, выражающим связь искомого тока с контурными токами 11, 22 и 33 см. пример 4.19 . Преобразование этого графа в конечный было про ведено в примере 4.20. Непосредственно по виду конечного графа записываем выражение для искомого тока

,

которое совпадает с выражениями для этого тока, полученными с использованием метода наложения см. пример 4.10 и теоремы об эквивалентном источнике см. пример

4.15 .

Передача ветви, связывающей исток и сток 6, равна комплексному коэффициенту передачи цепи по току G65 jω от зажимов 5 — 5' к зажимам 6 6' номера зажимов совпа

димости цепи Y61 jω в режиме, когда ветвь с источником тока разомкнута:

.

Следует отметить, что сведение исходного сигнального графа к конечному, особенно для сложных цепей, может оказаться трудоемким. Кроме того, если необ ходимо определить несколько неизвестных величин, эту процедуру приходится вы полнять несколько раз. Поэтому в таких случаях для нахождения комплексных час тотных характеристик цепи и неизвестных токов и напряжений целесообразно вос пользоваться формулой Мейсона [9], которая позволяет вычислять передачи ветвей конечного графа А =Н (jω) непосредственно по исходному сигнальному графу, не прибегая к его преобразованиям.

387

Определитель сигнального графа

,, ,

сумма произведений передач всех несоприкасающихся троек контуров и т. д. Алгеб

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с выражениями для Y61 jω по лученными другими методами см. примеры 4.10, 4.15, 4.21 .

Пример4.23. Используя формулу Мейсона, определим комплексный коэффициент передачи по току G65 jω цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а.

Сигнальный граф рассматриваемой цепи изображен на рис. 4.25. Выражение для определителя ∆ этого графа было получено в примере 4.22.

Алгебраическое дополнение второго пути равно единице. По формуле Мейсона,

.

Нетрудно убедиться, что данное выражение совпадает с выражениями для G65 jω , найденными другими методами см. примеры 4.10, 4.15 и 4.21 .

388

Вопросы для самопроверки

1.Можно ли по виду графа определить является ли он сигнальным или топологи ческим?

2.Что в теории сигнальных графов называется сигналом?

3.Какую размерность имеют узлы сигнального графа?

4.Как называется весовой коэффициент, присваиваемый каждой ветви сигналь ного графа?

5.Относятся ли сток и исток сигнального графа к смешанным узлам?

6.В чем состоит разница в определении пути сигнального и топологического графов?

7.Что называется передачей пути сигнального графа?

8.Могут ли две ветви сигнального графа, включенные между двумя одними и те ми же узлами не образовывать контура?

9.Какие ветви сигнальных графов называют параллельными?

10.Какие два контура (или контур и путь) сигнального графа называются сопри касающимися?

11.Какие сигнальные графы называются равносильными?

12.Для чего используются преобразования сигнальных графов?

Задачи

4.40.Составьте системы уравнений для графов, приведенных на рис. Т4.41 и

Т4.42.

Рис. Т4.41

4.41м. Постройте два три равносильных сигнальных графа для каждой из сис тем уравнений (1) и (2):

389

Рис. Т4.42

4.42. Составьте систему уравнений для сигнального графа (рис. Т4.43).

Рис. Т4.43

4.43р. Определите передачу сигнального графа (рис. Т4.44) между истоком x и сто комw.

Рис. Т4.44

4.44р. Найдите передачу сигнального графа (см. рис. Т4.41) от узла х к узлу z.

4.45. Определите передачу от истока х0 к узлу x3 графа (рис. 4.45) методом по следовательного упрощения. Составьте систему уравнений для зависимых узлов гра фа и с ее помощью проверьте решение.

390

Рис. Т4.45

4.46м. Найдите передачу от истока х0 к узлу х5 графа (рис. 4.46), пользуясь правилами преобразования сигнальных графов.

Рис. Т4.46

4.47. Определите передачу от истока х0 к узлу х4 графа (рис. Т4.47), пользуясь правилами преобразования сигнальных графов.

Рис. Т4.47

4.48р. Решите предыдущую задачу, используя формулу Мейсона.

4.49.Найдите число слагаемых в определителе графа (см. рис. Т4.43).

4.50.Определите передачу от истока х0 к узлу х3 графа (см. рис. Т4.42), ис пользуя: а) формулу Мейсона; б) метод последовательного упрощения.

4.51.По формуле Мейсона определите передачу от истока х0 к узлу х4 графов, приведенных на рис. Т4.48, а, б.

391