Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт сферы обслуживания и предпринимательства ДГТУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТЦ / Start_main1a.pdf

Скачиваний:

531

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

15.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6667 / 16067 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 > Следующая >>>

4.22.

С помощью метода узловых напряжений определите напряжение

цепи

рис. Т4.16.

Параметры элементов

цепи:

1 = 50

Ом;

2 = 1,2кОм;

= 20 кОм;

= 20 пФ;

2 = 2 пФ; = 1 мВ;

;

= 10 мСм;

= 2∙107

рад/с.

Рис. Т4.16

Решения и методические указания

4.1р. Граф цепи и одно из его деревьев приведены на рис. Т4.17, а, б.

Рис. Т4.17

Число ветвей цепи р= 8, число узлов q = 5, причем три ветви состоят только из источников напряжения (рИН = 3) и ни одна из ветвей не содержит источников тока (рИТ = 0). Система уравнений электрического равновесия, составленная методом то ков ветвей, включает восемь уравнений, из которых четыре составлены на основа нии первого закона Кирхгофа (число независимых узлов q – 1 = 4):

и четыре уравнения – на основании второго закона Кирхгофа (число независимых контуров p – q + 1 = 4)

;

342

;

Напряжения всех ветвей, не содержащих источников напряжения, выражены через токи соответствующих ветвей.

4.2р. Число неизвестных напряжений ветвей цепи р – рИН = 5 (см. решение пре дыдущей задачи). На основании второго закона Кирхгофа можно записать четыре уравнения баланса напряжений:

;

Пятое уравнение составляем на основании первого закона Кирхгофа для глав ного сечения {2, 3, 4, 6, 7}, в которое не входит ни одна ветвь, содержащая источник напряжения:

/Z3 + /Z1 + /Z2 + /Z4 + /Z5 = 0.

Нумерация напряжений соответствует нумерации токов ветвей.

4.5р. Граф данной цепи приведен на рис. Т4.18, а. Число ветвей р = 5; число уз лов q = 3, число независимых узлов графа m = q – 1 = 2, число независимых конту ров n = p – q + 1 = 3. Если выбранное дерево графа состоит из ветвей 2 и 4, то, добав ляя к дереву поочередно главные ветви 1, 3, 5 (рис. Т4.18, б – г), получаем систему независимых контуров. Поскольку данная цепь не имеет вырожденных ветвей, т. е. ветвей, содержащих источники тока или состоящих только из источников напря жения, число неизвестных токов (напряжений) ветвей равно числу ветвей р = 5.

Рис. Т4.18

343

Для рассматриваемой цепи можно составить m = 2 уравнения по первому за кону Кирхгофа и n = 3 уравнения по второму закону Кирхгофа. Уравнения элек трического равновесия, полученные методом токов ветвей, имеют вид

0;
0;
1				1	1	;
1	1	1	1		1	;
	1	1	1			.

Выразив токи через напряжения соответствующих ветвей, запишем уравнения для напряжений ветвей:

	1			1		0;

1		1	1		1	0;

По методу контурных токов для данной цепи можно составить n = 3 уравнения. Левая часть i го контурного уравнения содержит n слагаемых, одно из которых яв ляется произведением i гo контурного тока на собственное сопротивление i го кон тура, а остальные – произведениями контурных токов других контуров на общие сопротивления i гo контура и этих контуров; правая часть i гo уравнения равна кон турной ЭДС i гo контура:

;

Собственное сопротивление i –го контура равно сумме сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур, следовательно,

344

		1			;
1	1	1	.	1		;

Общее сопротивление i гo и j го контуров равно алгебраической сумме сопро тивлений ветвей, входящих одновременно в i й и j й контуры, причем, если кон турные токи и в общих ветвях направлены встречно, то перед суммой ставит ся знак минус, поэтому

;

Контурная ЭДС i – го контура равна алгебраической сумме ЭДС идеализиро

ванных

источников

напряжения,

входящих

данный

контур,

поэтому

;

Таким образом, уравнения электрического равновесия данной цепи, состав

ленные методом контурных токов, имеют вид

;

Для построения узловых уравнений преобразуем исходную цепь (рис. Т4.2),

заменив

источники

напряжения

источниками

тока

/ (см. рис. Т4.19). По методу узловых напряжений для данной цепи

можно составить

= 2 уравнения. Левая часть

уравнения содержит

го узловогоi

слагаемых, одно из которых iявляется произведением гo узлового напряжения на

собственную проводимость гo узла, а остальныеi

— произведениями узловыхiна

пряжений других узлов на общиеi

проводимости

гo и этих узлов; правая часть гo

уравнения равна узловому току го узла:

;

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей всех ветвей, под ключенных к данному узлу, следовательно,

345

1		1	1	1	1	;
1	1	1			.
1	1	1			.

Общая проводимость i го и j го узлов равна сумме проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими ным знаком, поэтому

1		1	.
Узловой ток какого либо узла равен алгебраической			сумме токов источников
тока, подключенных к этому узлу, поэтому	,	.

Рис. Т4.19

Таким образом, узловые уравнения данной цепи имеют вид

1		1	1	1	1		1	1		;

	1	1		1	1	1			.

4.7p. Граф данной цепи приведен на рис. Т4.20, а. Выберем дерево графа таким образом, чтобы ветви 5 и 6, содержащие идеальные источники тока, не вошли в де рево, т. е. стали главными ветвями. Пусть выбранное дерево содержит ветви 1, 2 и 4. Добавив к дереву поочередно главные ветви 3, 5 и 6, получим три независимых кон

346

тура (рис. Т4.20, б – г). Контурные токи двух последних контуров известны – они равн ы токам ветвей 5 и 6, содержащих идеальные источники тока. Для определения еди нственного неизвестного контурного тока первого контура составим контурное ур авнение: .

где ,

4.8р. Источник на пряжения

Рис. Т4.20

не может быть заменен источником тока, поэто

му выберем один из узлов,

к ко торому подключен источник в качестве базисного.

Присвоим узлам схемы

B C

соответственно н омера

. Уз ловое напря

, ,

жение первого узла из вестно, оно равно напряжению идеализированного источ ни

ка:

. Для определения узл овых напряжений

составим уравнения для

узлов 2 и 3:

;

где

(22)Y= 1/

jω C

3);

(33) = 1/

+ 1/

2 +

jωC

–

(

2 +

собственные проводимости;

Y(21) = 0; (23) =

(32) = –

jωC

(31)

= = – 1/

– общие проводимос ти узлов.

Рис. Т4.21

347

4.9м. Цепь содержит три вырожденные ветви, состоящие из идеальных источ ников напряжения, которые не имеют общей точки соединения. Перенося источник из ветви 8 в ветви 2 и 7, заменим схему цепи, приведенную на рис. Т4.1 эквива

лентной схемой рис. Т4.21. В полученной схеме источники напряжения

, находя

щиеся в ветвях 2 и 7,

могут быть заменены источниками тока, а вырожденные ис

точники

имеют общую точку, которую следует выбрать в качестве базисного

узла.

4.10р.

Преобразуем данную цепь, представляя ветви цепиYих проводимостями

заменив

источники напряжения

источниками

2 = 1/

тока: 1 = 1/ 1;

= 1/

j ωC

1)];

jωL

1);

5 = 1/(

jωL

2);

6 = 1/

6 +

jωC

;

5 + 1/[

4 – /(

4 = 1/(

2 +

(рис. Т4.22).

Для схемы (рис. Т4.22) составим уравнения по методу узловых напряжений:

;

–3

где

Y – узловыеj

напряжения;

= (2,49 –

См;

1 +Y

2 +Y

j0,049)·10

= (1,28 – 1,06)·10

–3

См;

= (0,695 – 0,9)·10

–3

См –

собственные проводимости узлов;

= –

2 = – 10–3 См;

= –

4 =

= (–0,495 + j0,0495)·10–3 См;

– Y 5 = j1,25·10–3 См –j

общие проводимо

сти узлов;

= (10,99 – 0,1)·10–3

А;

= (– 0,5 + 0,866)·10–3 А;

= = (– 0,99 + 0,099)·10–3 А – узловые токи.

Рис. Т4.22

Вычислим определитель матрицы Y:

∆	= (2,83 – j2,32)·10– 9 См3.

348

Определители

i получим из выраженияj

для

заменой i го столбцаj

на столбец уз

ловых

токовj

1 = (16,9 – 17,7)·10– 9

A·См2;

2 = (7,9 – 11,2)·10– 9 A·См2;

3 = (6,88 –

15,4)·10– 9 A·См2.

Используя эти значения, найдем узловые напряже

ния:

1/ = 6,65 – j0,796 = 6,69

°B;

2/ = 3,61 – j0,995 = 3,75

°B;

и токи ветвей:

3/ = 4,122 – j2,055 = 4,61

, °B.

3,44

, ° мА;

0,677

мА;

3,04

, °мА;

0,739 , °мА;

0,937

, °мА;

0,92

1,47

, °

мА;

1,84

мА;

°мА.

Для оценки точности расчетов проверим выполнение баланса мощностей в це

пи. Комплекснаяj

мощность, отдаваемая источниками

отд

= 30,2 –

9,4 мВ·А.

Комплексная мощность, потребляемая пассивными элементами,

ωL

ωC

ωL

потр ωC2

1 +

2 +

4 +

6 + [

1 –

1)+

2 –

)] = = 30,2 j9,4 мВ·А.

4.12р.

Используя метод токов ветвей, составим уравнения электрического рав

новесия цепи:

вх

;

где

– ток зависимого источника. Последовательно исклю

чая из полученных уравнений

, и

, найдем

откуда

вх

4,15

° мкА.

4.13м.

Для данной цепи уравнение электрического равновесия удобно запи

сать, используя первый закон Кирхгофа: [1/

jωC – j ωL

)]

– S .

Управляющее

напряжение

необходимо выразить через искомое напряжение

Согласно вто

рому закону Кирхгофа

(рис. Т4.23) и с учетом,

компонентных уравне

ний связанных индуктивностей

;

получим

/ .

349

Рис. Т4.23

4.17м. Цепь содержит источник напряжения, ЭДС которого зависит от тока, не явл яющегося током какой либо ветви. Что бы составить уравнения электрическ ого равн овесия, в цепь необходимо включить источник ЭДС 0 = 0 таким образом, что бы его ток был бы управляющим для зависимого источника.

4.21р. Заменим управляемые источники тока источниками напряж ения. Схема пре образованной цепи представлена на рис. Т4.24, а. Выберем дерево графа этой це пи т аким образом, чтобы ветви с управляющими токами вошли в число главных ветвей (рис. Т4.24, б).

Рис. Т4.24

Обозначая	;	;			;	,	запишем	систему контурных
уравнений цепи в следующем виде:					+ (β1 R2 + R4 + R5 )			+ R5	= 0;
( R2 + R3 + R4 + R5 ) + R5
R5	+ ( R 5 + R6 + R7 + R8 )				+ R5	+ (β2 R8 + R5 + R7 )			= 0;
	( R4 + R5 ) + R5			+ ( R1 + R4 + R5 )			+ R5	= – 2 ;
	R5	+ ( R5 + R7 )		+ R 5		+ ( R5 + R7 + R9 )		= 0.
Используя форму лу Крамера, определим выражения для контурных токов
и :			. Следовательно,

350

∆	.
∆

Подставив в полученное выражение числовые значения параметров элементов,

найдем / = 1,003.

351

<<< < Предыдущая 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 6667 / 16067 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ОТЦ

#
09.02.2015932.3 Кб37Lab_rab_df.pdf
#
09.02.20152.5 Mб48RGZ21.doc
#
09.02.201515.21 Mб531Start_main1a.pdf