Модуль 6.6. Применение принципа наложения для анализа неустановив шихся и переходных процессов в линейных цепях

Цель модуля: изучение методов определения реакции линейных цепей на произвольное внешнее воздействие, освоение методики применения интеграла Дюамеля

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие

Наиболее общий подход к анализу неустановившихся процессов в линейных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на

,

а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации частичных реакций на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:

действия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на воздейст вие которых может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов. Наибо лее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде единичной гармонической функции времени (см. модуль 3.1), единичного скачка и единичного импульса (см. модуль 6.5).

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на пред ставлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы гармо нических функций времени, получил название спектрального. Подробное рассмот рение этого метода будет сделано при изучении курса «Радиотехнические цепи и сигналы». Далее описаны методы анализа переходных процессов в линейных цепях, основанные на представлении внешнего воздействия на цепь в виде линейной ком бинации единичных скачков или единичных импульсов (методы временны́х харак­ теристик или методы, основанные на применении интеграла Дюамеля).

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую не зависимых источников энергии, переходная характеристика которой g(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции x = x(t), равной нулю при t < t0 и непрерывной при всех t, за исключением точки t = t0, где x(t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функцию x(t) можно приближенно пред

553

С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусоч но непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколь

555

x(t)

x(τк)

x(t0)

0 t0 τк τк+Δτ t

Рис. 6.23. Представление произвольного внешнего воздействия в виде суммы импульсов

Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.118) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени .

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по време ни можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

.

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.119) равна сумме произ ведений площадей импульсов на соответствующие импульсные характеристики

:

557

Выражение (6.120) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюаме ля и его можно получить непосредственно из (6.116), используя правило интегриро вания по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характе ристиками цепи (6.113). Выражение (6.120) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается ку сочно непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции

.

На участке 0, t1 функция u1 t не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2—2' находится непосредственно с помощью выражения 6.120 :

558