Застосування функцій складного відсотку для визначення вартості грошових потоків

Складний відсоток - це розрахунковий інструмент, що дозволяє при оцінці грошових потоків зіставляти різночасові гроші та обчислювати значення будь- якого з компонентів - вартість, платіж чи надходження, кількість періодів, ставку, - за умови, що інші компоненті відомі.

Як правило, йдеться про шість функцій складного відсотку:

• накопичена сума (майбутня вартість) одиниці;

• накопичення одиниці за період;

• внесок у формування фонду відшкодування;

• поточна вартість одиниці (реверсія);

• тсо'тш вартість звичайного ануїтету;

• внесок на амортизацію одиниці.

Для реалізації цих функцій на основі формули складного відсотку обчислюють відповідні фактори — коефіцієнти, що встановлюють зз'юшм'ш невщомим компонентом і відомими компонентами грошового штат,. Чту, цьому основним і єдиним обмеженням для їх застосування є вимога, за шш грошовий потік має формувати серія рівновеликих платежів (надходжень), що має назву звичайного ануїтету.

Майбутня вартість одиниці

Майбутня вартість одиниці - функція, що на підставі поточної вартості PV визначає майбутню вартість одиниці FV через п періодів при ставці доходу на капітал Y.

Функція майбутньої вартості одиниці має такий математичний вираз:

FV = PVx(l + Y)ⁿ =PVxFVF(Y;n), (Н6)

де FV у PV Y п

FVF(Y;n)

майбутня вартість одиниці;

поточна вартість одиниці;

ставка доходу на капітал;

строк накопичення (кількість періодів);

фактор майбутньої вартості (накопиченої суми) одиниці:

FVF(Y; n) = (l+ Y)ⁿ.

Застосування цієї функції для наведеного вище прикладу дозволяє визначити вартість, яку набув би торговельний павільйону вартістю 10 000 дол. США через п’ять років за умови збереження існуючого рівня норми віддачі у 6,5 %²⁹:

29

У всіх прикладах, що наведені у цьому підрозділі, для розрахунків використовується значення норми віддачі до округлення - 6,503 %.

FV = PVx(\ + Y)ⁿ = PVxFVF(Y;n) =

= 10 000 X (1+0,06503)⁵ = 10 000 х 1,37028 = 13 703.

Отже, майбутня вартість павільйону складає 13 700 дол. США.

Накопичення одиниці за період

Накопичення одиниці за період - функція, що визначає майбутню вартість звичайного ануїтету (серії рівновеликих періодичних платежів або надходжень РМТ) протягом п періодів при ставці доходу на капітал Y.

Розрахунок майбутньої вартості звичайного ануїтету здійснюється за формулою:

(1 + 7)” -1

FVA = РМТ х- 1

7

РМТ xFVAF(Y;n),

(14.7)

де FVA РМТ

майбутня вартість звичайного ануїтету;

значення одного з серії рівновеликих періодичних платежів або надходжень;

7 ставка доходу на капітал;

п строк накопичення (кількість періодів);

FVAF(Y;n) фактор майбутньої вартості (накопиченої суми) звичайного ануїтету:

FVAF(Y; п)

(1 + 7)" -1 7

Застосування цієї функції дозволяє визначити майбутню вартість чистого операційного доходу, накопичену власником торговельного павільйону при наданні його в оренду, що дає 1 200 дол. США чистого операційного доходу, протягом п’яти років при рівні норми віддачі у 6,5 %:

FVA = РМТх^^ \ = PMTxFVAF(Y-n) =

= 1200 х ^{(1 +} °’⁰⁶⁵⁰³) ~¹ ₌ 1200 х 5,6940 = 6833. 0,06503

Отже, майбутня вартість доходу від надання павільйону в оревду складає 6 833 дол. США.

Внесок на формування фонду відшкодування.

Внесок на формування фонду відшкодування - функція, що визначає розмір платежу для звичайного ануїтету РМТ, майбутня вартість якого через п періодів, при заданій ставці 7, буде дорівнювати 1.

Розрахунок значення рівновеликого періодичного платежу здійснюється за формулою:

РМТ = FVAx -FVA х SFFiY; п), (14.8)

(1 + 7)” -1

де

РМТ значення рівновеликого періодичного платежу; FVA майбутня вартість звичайного ануїтету;

у ставка доходу на капітал;

п кількість періодів;

SFF( Y; п) фактор фонду відшкодування:

SFF(Y; п) =

7

(1 + 7)"-Г

Інакше кажучи, функція внеску на формування фонду відшкодування дозволяє при заданій ставці доходу 7 розрахувати значення частини чистого

Чистий операційний дохід з нерухомості, дол. США 1 200

Вартість реверсії) дол. США 6 870

Сума знецінення, дол. США 3130

Первісна вартість нерухомості, дол. США 10 000

Дохід на капітал @ 6,5% 650

Дохід на відшкодування капіталу, дол. США 550

або

РМТ = FVA х = FVA х SFF(Y; п) =

(1 + 7)"-1

= зізох ⁰’-⁰⁶⁵⁰³. = 3130 х 0,175624 = 550.

(1 + 0,06503)⁵ -1

Отже, щорічний дохід на відшкодування знецінення павільйону складає 550 дол. США.

Поточна вартість одиниці

Поточна вартість одиниці - функція, що визначає поточну вартість PV майбутньої одиниці FV, яку можна одержати через п періодів при заданій процентній ставці 7

Поточна вартість одиниці PV розраховується за формулою:

де

PV = FV х ¹ =FVxPVF(Y;n),

(1 + 7)"

PV

FV

Y

n

PVF(Y;n)

поточна вартість одиниці; майбутня вартість одиниці; ставка доходу на капітал; строк володіння (кількість періодів); фактор поточної вартості одиниці:

1

(Г+ 7)"

(14.9)

PVF(Y; п) =*

PV = FVx І =FV х PVF(Y;n) =

(1 + ГГ

= 6870 х ¹ — = 6870х 0,729778 = 5014.

(1 + 0,06503)⁵

Отже, поточна вартість реверсії - термінальної вартості павільйону, - становитиме 5 014 дол. США.

Поточна вартість звичайного ануїтету

Поточна вартість звичайного ануїтету - функція, що визначає поточну вартість серії майбутніх рівновеликих періодичних платежів або надходжень РМТ протягом п періодів і при ставці дисконтування Y.

Розрахунок поточної вартості звичайного ануїтету PVA здійснюється за формулою:

1

PVA = PMTx-

1

= РМТ х PVAF(Y; п),

(14.10)

де •

PVA поточна вартість звичайного ануїтету;

РМГ розмір одного з серії рівновеликих періодичних платежів або надходжень;

Y ставка доходу на каштал;

п строк володіння (кількість періодів);

PVAF(Y; п) фактор поточної вартості звичайного ануїтету:

РМТ х PVAF(Y;n) =

1200x4,155343 = 4986.

Отже, поточна вартість чистого операційного доходу, отриманого від надання павільйону в оренду протягом п’яти років, складає 4 986 дол. США.

Зауважимо, що дві останні функції - функцію поточної вартості одиниці та функцію поточної вартості звичайного ануїтету, - широко використовують в оціночній практиці, оскільки вони дозволяють скоротити розрахункову частину обчислення вартості об’єкту нерухомості, що генерує рівновеликі щорічні доходи.

Якщо припустити, що чистий операційний дохід з нерухомості залишається незмінним протягом прогнозного строку, то модель дисконтованих грошових потоків (14.1), що відображає суму приведених до дати оцінки регулярних та разового доходів, можна формалізувати наступним чином:

1-

PVA = PMTx~

(1 + 7)* 7

1

1

= 1200х-

(1 + 0,06503)⁵ 0,06503

V₀=I_Qx PVAF(Y; п) + FV_a х PVF(Y; п).

(14.11)

Внесок на амортизацію одиниці розраховується за формулою:

де

РМТ = PVAx

Y

1 —

1

(1 + 7)"

PVAxIAOF(Y;n),

(14.12)

РМТ

PVA

Y

п

IAOF(Y;n)

розмір одного з періодичних платежів або надходжень;

поточна вартість одиниці;

ставка доходу на капітал;

строк володіння (кількість періодів);

фактор внеску на амортизацію одиниці:

IAOF(Y;n)

Y

1-

1

(1 + 7)”

Ця функція, як і функція внеску на формування фонду відшкодування, дозволяє визначити надходження (платіж) РМТ. Проте на відміну від функції внеску на формування фонду відшкодування, що пов’язана з надходженнями (платежами) для накопичення в майбутньому заданої суми FVA, функція внеску на амортизацію одиниці відноситься до надходжень (платежів), які дозволяють повернути визначену на сьогодні суму PVA .

При цьому надходження (платіж) включає дві складові, одна з яких забезпечує дохід на вкладений капітал за заданою нормою віддачі 7, а друга - дохід на відшкодування капіталу за нормою відшкодування Н протягом п періодів. Тобто, фактор внеску на амортизацію одиниці за своїм змістом відповідатиме ставці капіталізації для земельних поліпшень:

IAOF(Y;n) = 7 + SFF(Y;n). (14.13)

Стосовно нерухомості функцію внеску на амортизацію одиниці найчастіше використовують для визначення доходу, що генерують земельні поліпшення, оскільки цей дохід не має явних порівнянних даних.

Наприклад, визначимо необхідний розмір щорічного чистого операційного доходу з будівлі павільйону вартістю 3 130 дол. США, що забезпечив би отримання доходу на капітал при заданій нормі віддачі у 6,5% та доходу на відшкодування капіталу, що знеціниться протягом 5 років:

РМТ — PVAx =PVAxIAOF(Y;n) =

1

(1 + 7)"

= ЗІЗОх ⁽^°⁶⁵_|⁽⁾³ = 3130x0,240654 = 753.

1 + 0,06503

Отже, щорічний чистий операційний дохід, що генерує будівля торговельного павільйону, становитиме 753 дол. СІЛА. При цьому, залишаючись незмінним протягом прогнозного строку, співвідношення між складовими доходу, що забезпечують віддачу з капіталу та відшкодування капіталу, змінюються від періоду до періоду: з кожним роком розмір доходу на капітал буде зменшуватися, а розмір на відшкодування капіталу - збільшуватися. Це зумовлено тим, що по мірі знецінення капіталу база для нарахування віддачі зменшується, натомість як база для відшкодування зростає.

Слід зауважити, що застосування стандартних функцій складного відсотку не тільки суттєво спрощує обчислення вартості грошових потоків, а й дозволяє дослідити зв’язки між основними компонентами цих потоків. При цьому фактори, що використовують у розглянутих функціях, відображають як прямі, так і зворотні зв’язки. Так, фактор поточної вартість одиниці за математичним змістом є оберненою величиною фактора майбутньої вартості одиниці, фактор формування фонду відшкодування - оберненою величиною фактора майбутньої вартості звичайного ануїтету, а фактор поточної вартості ануїтету - оберненою величиною внеску на амортизацію одиниці