Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
7.08 Mб
Скачать

Ответы и решения

447

При покупке спрэда бабочки прибыли-убытки инвестора в рас-

чете на 1000 евро составят:

 

П a с 2b 1000 0, 3 0, 2 2 0, 4 1000 300

ðóá.

При продаже спрэда бабочки прибыль инвестора в расчете на 1000 евро составит:

П a c 2b 1000 0,3 0, 2 2 0, 4 1000 300 ðóá.

Рассчитанные двумя методами результаты совпали.

Глава 12

Задача 12.1. Состав портфеля в оптимальной точке:

 

 

 

 

2

 

 

0, 9 0, 2

 

x

0

 

 

2

 

12

 

 

0, 6364.

2

2

2

0, 6 0,9 2 0, 2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

12

 

 

 

Доходность портфеля и риск в оптимальной точке:

ap,0 x0a1 1 x0 a2 0, 6364 0,12 1 0, 6364 0, 2 0,1491;

 

p,0

x02 12 1 x0 2 22 2x0 1 x0 12

 

0, 63642 0, 6 (1 0, 6364)2 0,9 2 0, 6364 (1 0, 6364) 0, 2 0, 674.

Доходность портфеля и риск в крайних точках и в оптимальной точке представлены в табл. ОР.3.

 

 

 

Таблица ОР.3

x

 

 

 

1

0,6364

0

ap

0,12

0,1491

0,2

p

0,745

0,674

0,949

График доходность-риск портфеля представлен на рис. ОР.6.

448

Доходность

Ðèñ. ÎÐ.6. График зависимости ожидаемой доходности

оптимального портфеля от его риска

Задача 12.2. Состав портфеля в оптимальной точке:

 

 

 

 

2

 

 

1, 2 0,3

 

x

0

 

 

2

 

12

 

 

 

0, 643.

2

2

2

0,8 1, 2 2 0,3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

12

 

 

 

 

Доходность портфеля и риск в оптимальной точке:

ap,0 x0a1 1 x0 a2 0, 643 0,15 1 0, 643 0,3 0, 204;

 

p,0

x02 12 1 x0 2 22 2x0 1 x0 12

 

0, 6432 0,8 (1 0, 643)2 1, 2 2 0, 643 1 0, 643 0, 3 0,588.

Доходность портфеля и риск в крайних точках и в оптимальной точке представлены в табл. ОР.4.

 

 

 

Таблица ОР.4

 

 

 

 

x

1

0,643

0

ap

0,15

0,204

0,3

p

0,894

0,788

1,095

График доходность-риск портфеля представлен на рис. ОР.7.

Ответы и решения

449

Доходность

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Стандартное отклонение

Ðèñ. ÎÐ.7. График зависимости ожидаемой

доходности портфеля от риска

Задача 12.3. Для определения состава оптимального портфеля в экстремальной точке найдем обратную матрицу 1 матрицы риска

1

0

0

1

0 1, 6

0

1

 

 

0

2,8 1

.

0

 

1

1

1

0

Для расчета элементов обратной матрицы использованы программы Excel. Для этих целей:

1)вносят значения элементов матрицы в таблицу;

2)выделяют поле для записи обратной матрицы;

3)нажимают на кнопку « fx »;

4)в категориях «Математические» выбирают функцию «МОБР»;

5)ÎÊ;

6)выделяют преобразуемую матрицу;

7)одновременно нажимают кнопки Ctrl+Shift+Enter.

Обратная матрица равна:

 

 

 

0,

495495

0,

315315

0,180180

0, 504505

 

1

 

0,

315315

0,

427928

0,112613

0,315315

 

 

 

0,180180

0,112613

0, 292793

0,180180

.

 

 

 

 

 

 

 

0,504505

0,315315

0,180180

0, 504505

450

Далее находим матрицу-столбец состава портфеля:

 

0,

495495

0,

315315

0,180180

0, 504505

0

 

0,504505

 

0,

315315

0,

427928

0,112613

0,

315315

0

 

0,

315315

 

0,180180

0,112613

0, 292793

 

 

 

 

 

.

 

0,180180

0

 

0,180180

 

0, 504505

0,315315

0,180180

0,

504505

1

 

0,

504505

Доли ценных бумаг первого x1 , второго x2 и третьего x3

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля.

Найдем доходность портфеля в этой точке и риск:

 

 

 

 

 

 

 

0, 5045

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 3153

 

0,1355;

 

 

ap a x 0, 09 0,16 0, 22

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1802

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p x x 0,5045

0, 3153 0,1802

1

0

0

0, 5045

 

 

 

0

1, 6

0

 

 

0, 3153

 

0,504505;

 

 

 

0

0

 

 

 

0,1802

 

 

 

 

 

2,8

 

 

 

р 0, 71.

Состав, доходность и риск портфеля в экстремальной точке записаны в табл. ОР.5.

Для определения состава оптимального портфеля найдем обратную матрицу А 1 матрицы риск-доходность:

 

1

0

0

0, 09 1

 

 

0

1, 6

0

0,16

1

 

А

0

0

2, 4 0, 22 1

.

 

 

0,16 0, 22

0

 

 

0, 09

0

 

1

1

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

Обратная матрица равна:

 

 

 

 

0, 081154

0,175834

0, 094680

9,107304

1, 738503

 

0,175834

0, 380974

0, 205140

3, 065825 0,100090

А 1

0, 094680

0, 205140

0,110460

6, 041479

0, 638413 .

 

9,107304

3, 065825

6, 041479

200,180300

 

 

27,123530

 

1, 738503

0,100090

0, 638413

27,123530

4,179621

 

 

 

 

 

 

Ответы и решения

 

 

 

 

 

 

451

 

Далее находим матрицу-столбец состава портфеля для доходно-

сти портфеля 0,15:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 081154

0,175834

0, 094680

9,107304

1, 738503

 

 

0

 

 

 

 

 

0,175834

0,380974

0, 205140

3, 065825

0,100090

 

 

0

 

 

 

X

 

0, 094680

0, 205140

0,110460

6, 041479

 

 

 

0

 

 

 

0, 638413

 

 

 

 

9,107304

3, 065825

6, 041479

200,180300

27,123530

 

0,15

 

 

 

 

1, 738503

0,100090

0, 638413

27,123530

4,179621

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,3724

 

 

 

0,3598

 

 

 

0, 2678

 

 

.

 

 

2, 9035

 

 

 

0,1111

 

 

 

 

Доли ценных бумаг первого x1 , второго x2 и третьего x3

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля.

Риск портфеля в этой точке определяется по формуле

 

2p x x 0,3724 0,3598

 

1

0

0

0, 3724

 

 

0, 2678

0 1, 6

0

 

 

0,3598

0, 54662;

 

 

 

 

 

 

0

0

2,8

 

 

0, 2678

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р 0, 739.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом находят состав и риск для других доход-

ностей, которые представлены в табл. ОР.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица ОР.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ap

0,1057

0,12

0,13

0,1355

 

0,15

 

0,17

0,1909

x1

0,7758

0,6456

0,5545

0,5045

 

0,3724

0,1903

0

x2

0,224

0,2676

0,2985

0,3153

 

0,3598

0,4211

0,4851

x3

0,0002

0,0866

0,147

0,1802

 

0,2678

0,3886

0,5149

p

0,826

0,74

0,715

0,71

 

0,739

0,862

1,059

График доходность-риск, построенный по данным табл. ОР.5, представлен на рис. ОР.8.

452

Доходность

Ðèñ. ÎÐ.8. Доходность-риск оптимального портфеля

Задача 12.4. Состав портфеля для рисковых ценных бумаг первого, второго и третьего типов определен при решении задачи 12.3. Построен также график доходность-риск, представленный на рис. ОР.9 в виде кривой линии.

 

0,25

 

 

 

 

 

 

Доходность

0,20

 

 

 

 

 

 

0,15

 

 

 

 

 

 

0,10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,05

 

 

 

 

 

 

–0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

 

 

 

Стандартное отклонение

 

 

 

Ðèñ. ÎÐ.9. Доходность-риск оптимального портфеля

Функция ожидаемой доходности портфеля от среднего квадратичного отклонения имеет вид:

aр aр,k a0 р a0 ,

р,k

ãäå р,k , aр,k — координаты точки касания прямой линии и функции доходность-риск для рисковых ценных бумаг портфеля.

Ответы и решения

453

В точке касания безрисковые ценные бумаги отсутствуют, т.е. х0 0 . Доходность портфеля в точке касания можно найти из уравнения (12.20). Запишем это уравнение в виде:

x0

 

 

 

0

 

x

 

 

 

0

 

 

 

1

 

А 1

 

 

 

 

 

х2

 

...

, ãäå

x3

 

 

 

0

 

 

 

 

 

ap

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0, 06 1

 

 

 

0

1

0

0

0, 09 1

 

 

 

0

0

1, 6

0

0,16

1

 

A

 

 

 

0

0

0

2,8

0, 22 1

.

 

0, 06

0, 09 0,16 0, 22

0

0

 

 

1

1

1

1

0

 

 

 

 

0

При значении доходности ap,k 0,16887828 имеем следующий состав оптимального портфеля:

х0 0;

x1 0, 2005;

x2 0, 4176;

x3 0,3819.

Дисперсию портфеля в точке касания найдем по первой формуле (12.23) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых бумаг:

 

1

0

0

 

0,

2005

 

 

2p x x 0, 2005 0, 4176

0,3819

0

1, 6

0

 

 

0,

4176

 

0, 7276.

 

 

0

0

2,8

 

 

0,3819

 

 

 

 

 

 

 

 

Риск в точке касания равен:

p,k 0,853.

Таким образом, функция ожидаемой доходности портфеля от среднего квадратичного отклонения приобретает вид:

aр 0,16887828 0, 06 р 0, 06 0,128 р 0, 06. 0,853

График этой прямой показан на приведенном выше рис. ОР.9. Так как инвестор выбрал для своего портфеля среднюю до-

ходность 0,14, то доля бумаг в портфеле находится по формуле

(12.20):