Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
7.08 Mб
Скачать

Глава 12

Портфель ценных бумаг

12.1.Характеристики портфеля ценных бумаг

12.2.Портфель из двух типов ценных бумаг

12.3.Оптимальный портфель

12.4.Определение состава оптимального портфеля

12.5.Определение состава оптимального портфеля в Excel

12.6.Оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг

12.7.Алгоритм построения оптимального портфеля ценных бумаг

12.8.Рыночный портфель

12.9.Эффективный рынок ценных бумаг

12.1. Характеристики портфеля ценных бумаг

Если инвестор покупает ценные бумаги хотя бы двух видов, например акции РАО ЕЭС и акции Ростелекома, то говорят о портфеле ценных бумаг [1—3].

Предположим, что портфель составлен из n-го числа различных видов ценных бумаг. Доходности каждой ценной бумаги являются случайными величинами. Пусть x j — доля общего вложения, при-

ходящаяся на j вид ценных бумаг, подчиняющаяся соотношению

n

x j 1. (12.1)

j 1

Ожидаемая доходность a j j ценной бумаги, входящей в

портфель, является математическим ожиданием доходности этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность портфеля, являющаяся математическим ожиданием от суммарной доходности входящих в портфель ценных бумаг, вычисляется по формуле

356

III. Фондовый рынок

n

a x a .

pj 1 j j

Âкачестве меры риска портфеля ценных бумаг считают среднее квадратичное отклонение его доходности, вычисляемое как корень

квадратный из дисперсии. Дисперсия доходности портфеля определяется соотношением (12.2)

 

 

 

n n

 

 

 

 

2p xi x j ij ,

 

(12.3)

 

 

 

i 1 j 1

 

 

 

ãäå ij

— ковариация случайных доходностей

i-й и j

ценных бумаг,

вычисляемая по формуле

 

 

 

 

 

 

ij E

 

 

 

,

(12.4)

 

 

Ai ai Aj a j

ãäå E

— оператор математического

ожидания; Ai, Aj

— случайные

доходности i и j ценных бумаг соответственно.

 

Предположим, что эффективности различных ценных бумаг не коррелированны, т.е. ij 0 приi j . Тогда (12.4) принимает вид:

jj E Aj a j 2 2j.

(12.5)

Таким образом, если ij 0 приi j , то ковариация

j ценной

бумаги равна ее дисперсии. В этом случае формула для дисперсии доходности портфеля ценных бумаг (12.3) приобретает вид:

n

2p x2j 2j. (12.6)

j 1

Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. x j 1n , то формулы (12.2) è (12.6) можно записать в виде:

ap 1 n a j;

n j 1

p 1

2j .

 

n

n

j 1

(12.7)

(12.8)

Рассмотрим возможность уменьшения риска снижения доходности за счет диверсификации (разнообразия) портфеля. Если в

12. Портфель ценных бумаг

357

правую часть (12.8) вместо всех 2 подставить максимальное зна-

 

 

 

j

 

 

 

чение дисперсии 2

из всего набора дисперсий

2

, то получим

max

 

 

 

 

j

 

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

p 1

n

 

 

 

 

max2 .

 

 

 

 

 

n

j 1

 

 

 

Правая часть этого соотношения равна:

 

 

 

1

n

1

n 2max

max .

 

 

max2

 

 

n

j 1

n

 

n

 

 

Окончательно получим

 

 

 

 

 

 

 

p

max .

 

 

(12.9)

 

 

 

n

 

 

 

Из выражения (12.9) следует, что при росте числа видов ценных бумаг n , доходности которых не коррелированны, риск портфеля уменьшается и стремится к нулю при n . Этот результат называется эффектом диверсификации портфеля.

Для анализа корреляции на величину риска портфеля ценных бумаг в формуле для дисперсии доходности (12.3) выразим ковариацию случайных доходностей Ai и Aj через коэффициент корреляции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

ij

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда (12.3) можно представить в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p

 

n

n

 

 

 

 

j x j ij.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i xi

 

 

 

 

 

 

(12.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим случай полной прямой корреляции ij

1 и случай

полной обратной корреляции ij 1. Ïðè ij 1 имеем:

 

2

n n

x

 

 

 

 

x

j

 

 

n

x

 

 

n

 

 

x

 

 

n

 

 

x

 

2

 

j

 

 

 

j

 

 

 

j

,

p

i i

 

 

 

 

 

 

i i

 

 

 

 

j

 

 

 

j

 

 

i 1 j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

так как при суммировании по любой переменной получим один и тот же результат.

358

III. Фондовый рынок

Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е. x j 1n , òî

2

1

 

n

 

2

1

n

p

 

 

 

 

j ; p

 

j.

 

2

 

 

n

 

 

 

 

n j 1

 

 

j 1

 

 

Если в правую часть последнего соотношения вместо всех j

подставить максимальное и минимальное значения стандартного отклонения из всего набора этих отклонений, то получим неравенство

min p max.

Отсюда следует, что среднее квадратичное отклонение портфеля при полной прямой корреляции доходностей всех ценных бумаг будет иметь тот же порядок, что и стандартное отклонение отдельных ценных бумаг, т.е. диверсификация не дает положительного эффекта.

При полной обратной корреляции, т.е. при ij 1, рассмотрим случай двух ценных бумаг. Для i j выражение для коэффициента корреляции, определяемого формулой (12.10), принимает вид:

2

jj j jj j j j j 1.

Подставив это в (12.11) и учитывая, что n 2 , получим:

n n

i xi j x j ij 12x12 22 x22 2 1x1 2 x2

1x1 2 x2 2 .

2p

i 1 j 1

 

 

Из этого выражения следует, что при полной обратной корреляции дисперсия доходности портфеля может быть равна нулю, т.е. риск отсутствует. Это имеет место при выполнении соотношения

1x1 2x2.

Состав такого портфеля можно определить, решив систему из полученного уравнения и уравнения для долей портфеля (12.1), ò.å.

x1 x2 1,x1 2 x2 0.1

12. Портфель ценных бумаг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

359

Решения этой системы имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2 1

; x

2

 

1

 

 

.

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Пример 12.1. В табл. 12.1 приведены характеристики четырех

типов ценных бумаг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 12.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

a j , %

 

12

 

 

 

10

 

 

 

 

8

 

 

 

6

 

 

j , %

 

2,5

 

 

 

1

 

 

 

0,4

 

 

0,4

 

1. Определить характеристики портфеля, состоящего из четырех типов ценных бумаг при равномерном вложении и при отсутствии корреляции доходностей между бумагами.

Р е ш е н и е. Для определения ожидаемой доходности и стандартного отклонения портфеля воспользуемся формулами (12.7) è (12.8):

 

 

ap

1 a j 1 12 10 8

6 9;

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n j 1

4

 

p

 

n

 

 

 

1

2j 1

2,52 12 0, 42

0, 42 0, 688 .

 

n

i 1

4

 

 

2. То же, что и в пункте 1 для второго, третьего и четвертого типов ценных бумаг.

Ð å ø å í è å.

ap

1

10

8 6 8;

p

1

12 0, 42 0, 42

0,383 .

 

3

 

 

 

3

 

 

3. То же, что и в пункте 1 для второго и третьего типов ценных бумаг.

Ð å ø å í è å. ap

1

10 8 9;

p

1

12 0, 42

0,534.

 

2

 

 

2

 

 

4. То же, что и в пункте 1 при полной прямой корреляции.

Р е ш е н и е. Ожидаемая доходность та же, что и в пункте 1. Стандартное отклонение определяется по формуле

p

1

n

1

2,5 1 0, 4 0, 4 1, 075.

j

 

n j 1

4

 

5. Определить долю ценных бумаг портфеля, состоящего из первого и второго типов, при их полной обратной корреляции.