Для облигаций с выплатой по купонам один раз в году уравнение для определения доходности запишем в виде:

K −u 1−(1+r )−n −(1+r)−n = 0. r

Курс бескупонной облигации, по которой в конце срока выпла- чивается только номинал, определяется из соотношения

K −(1+r )−n = 0 . Решив это уравнение относительно r, находим доходность бескупонной облигации:

r = n 1K −1.

Z Пример 11.11. Бескупонная облигация со сроком 7 лет куплена по курсу 79%.

Определить доходность инвестиций.

Р е ш е н и е. Доходность определяется по формуле r = 7 0,791 −1 = 0,034248, èëè ≈ 3, 42%. W

11.7. Государственные облигации

Государственные ценные бумаги являются финансовыми инструментами, обслуживающими государственный внутренний долг, и представляют собой облигации и векселя Министерства финансов РФ. Рынок государственных ценных бумаг служит для привлечения финансовых ресурсов, а для инвесторов является выгодным направлением вложения денежных средств.

Федеральными государственными ценными бумагами признаются бумаги, выпущенные от имени Российской Федерации. Денежные средства, привлекаемые в результате размещения государственных ценных бумаг, и порядок их расходования определяются законами Российской Федерации.

Эмитентом на рынке государственных ценных бумаг выступает государство в лице Министерства финансов РФ. Первичное размещение и погашение ценных бумаг осуществляется Центральным банком РФ по поручению Министерства финансов РФ.

Инвестором на рынке государственных ценных бумаг может быть любое юридическое или физическое лицо, резиденты и нерезиденты.

Контролирующим органом на рынке государственных ценных бумаг является Центральный банк РФ.

Существенную долю в структуре внутреннего государственного долга занимают государственные краткосрочные облигации (ГКО) и облигации федерального займа (ОФЗ). Полученные от реализации этих облигаций средства используются для покрытия дефицита федерального бюджета. Выпускаются бескупонные облигации и облигации с выплатами по купонам.

Облигации государственного сберегательного займа (ОГСЗ) предназначены для активного привлечения средств населения. ГКО

èОФЗ предназначены для физических и юридических лиц. Однако участие физических лиц в операциях с этими ценными бумагами весьма затруднительно. Это связано с тем, что операции куплипродажи этих облигаций проводятся только через биржевые торги, к участию в которых допущены уполномоченные дилеры. Дилер работает только с крупными суммами, которыми подавляющее большинство населения не обладает. Поэтому для частных лиц выпущены ОГСЗ с номинальной стоимостью 500 руб. Облигации выпускаются в документарной форме со сроком обращения 1—2 ãîäà

èрегулярной выплатой дохода по купонам. Купонный период составляет три месяца. Купонный доход определяется по аналогии с доходом по ОФЗ и привязан к среднему уровню доходности по ГКО. При этом обычно устанавливается премия к расчетному среднему уровню доходности. Реализация облигаций осуществляется через уполномоченные банки, которым эмитент продает выпущенные облигации на аукционе. С ОГСЗ можно совершать сделки куп- ли-продажи в течение срока их обращения.

Ценными муниципальными бумагами называются ценные бумаги, выпущенные от имени муниципального образования. Решение об эмитенте ценных муниципальных бумаг Российской Федерации принимает Правительство РФ. Эмитентом ценных муниципальных бумаг выступает исполнительный орган местного самоуправления, действующий на основе устава муниципального образования.

11.8. Дюрация и изгиб

Цена облигации со сроком n , с купонными ежегодными выплатами Rt (ãäå t — номер выплаты, или номер года) и с номиналом N

определяется суммой всех выплат, дисконтированных по ставке r, и является функцией этой ставки. Таким образом, зависимость цены облигации от ставки можно представить в виде соотношения

По условиям задачи всегда r > −1, Rt ≥ 0 , N > 0 . Поэтому A > 0,

т.е. всегда является величиной положительной. Первая производная цены облигации по ставке дисконтирования определяется выражением

Эта производная при поставленных выше условиях величина всегда отрицательная. Отсюда следует, что функция A(r ) является убывающей. Вторая производная цены по ставке имеет вид:

Как следует из этого соотношения, вторая производная всегда положительна. Поэтому исследуемая кривая всегда имеет выпуклость, обращенную вниз так, как показано на рис. 11.10.

Ðèñ. 11.10. Графическая зависимость цены облигации

от процентной ставки

Разложим функцию A(r ) в ряд Тейлора в точке r = r0 , ограни- чившись первыми тремя членами:

по ставке дисконтирования в точке r = r0 .

и разделим левую и правую части функции для цены облигации на

Входящие в это выражения величины называются дюрацией:

è изгибом:

Подставив сюда введенные выше обозначения, получим формулу для цены:

Таким образом, при известной дюрации и изгибе по приведенной формуле для относительного изменения цены облигации легко определить изменение этой цены ∆A при незначительном изменении ставки дисконтирования ∆r . При увеличении модуля ∆r ошибка расчета величины изменения цены облигации увеличивается. Если отбросить слагаемое, учитывающее изгиб, то изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования будет определяться только дюрацией, т.е.

Как следует из формулы для дюрации, этот показатель является средним взвешенным моментов платежа. Весами являются дисконтированные платежи, деленные на современную стоимость всех платежей. Единицей измерения дюрации является единица измерения времени, т.е. год.

Z Пример 11.12. Бескупонная облигация, имеющая номинал 5000 руб., будет погашена через два года.

Определить цену облигации, дюрацию и изгиб для ставки дисконтирования 10% годовых (точка разложения). Найти изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования на ±2% для трех случаев:

•истинное;

•при учете дюрации и изгиба;

•при учете только дюрации.

Найти методические ошибки расчета цены при учете дюрации и изгиба, а также только дюрации.

Р е ш е н и е. Для определения истинной цены облигации используется полученная формула, которая для бескупонной облигации имеет вид:

Преобразовав формулу для дюрации, получим

Таким образом, дюрация для сосредоточенного платежа равна сроку его выплаты. Для нашего случая

D = 2 года.

Истинное изменение цены облигации при изменении ставки дисконтирования на величину ∆r определяется соотношением