Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Медицинская академия им. С.И. Георгиевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

7.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 7677 / 9377 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 > Следующая >>>

12. Портфель ценных бумаг

365

12.4.Определение состава оптимального портфеля

Иначе в общем виде систему из пяти линейных уравнений можно представить как

2		2	...	2	a	1	x1		0
2 1121		2 1222	... 2 12nn		a12	1	x2		0
.....................................							...		...		(12.19)
	2 n1	2 n2	... 2 nn		an	1			0	.	(12.19)
	2 n1	2 n2	... 2 nn		an	1	xn		0
	a1	a2	...	an	0	0		ap
	1	1	...	1	0	0			1
									1

Введем обозначения. Обозначим матрицу риск-доходность через

	2		2			...	2			a		1
	11				12				1n		1
2 21			2 22			...	2 2n			a2		1
.....................................												1
А 2		n1	2		n2	... 2			nn	a	n		, вектор
	a		a			...	a					0
				2				n		0
	1					...				0
	1		1				1					0

уравнения В ... .

0ap1

x1x2

Х ... , а вектор правой части

Тогда уравнение (12.19) можно записать в виде:

AX B.

Решая это уравнение, получим формулу для определения неизвестных долей каждого типа рисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле:

X A 1B,

(12.20)

ãäå A 1 — обратная матрица по отношению к матрице A. .

В матричной форме можно представить также в общем виде формулы (12.1)—(12.3). При этом характеристики рисковых ценных бумаг задаются матрицей ковариаций , матрицей-столбцом ожидаемых доходностей a , матрицей-столбцом неизвестных долей x и единичной матрицей-столбцом I . Эти матрицы имеют вид:

366							III. Фондовый рынок

		11	12	1 j	1n
	21 22 2 j				2n
	... ... ...				...
		i1	i2	ij	in	,
ij		i1	i2	ij	in	,	(12.21)
					...
	... ... ...				...
		n1 n2 nj			nn

ãäå ij — ковариации случайных доходностей i-é è j-é рисковых ценных бумаг, jj 2j.

...

;

...

;

I 1

...

(12.22)

a j

x j

...

С учетом введенных обозначений формулы (12.1)—(12.3) ïðè-

нимают вид:

(12.23)

p x

ap a x;

I x 1,

ãäå x , a , I — транспонированные матрицы, в которых строки и столбцы поменялись местами.

Например, транспонированной по отношению к матрице bij является матрица bji .

12.5.Определение состава оптимального портфеля в Excel

 Пример 12.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 12.4. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированны.

			Таблица 12.4

j	1	2	3
a j	0,05	0,1	0,15
2j	0,25	0,5	0,8

Определить зависимость состава оптимального портфеля от его ожидаемой доходности и построить график функции ap p

при оптимальном составе портфеля.

Р е ш е н и е. Построим матрицу риск-доходность:

0,5 0 0 0, 05 10 1 0 0,1 1 А 0 0 1, 6 0,15 1 .0, 05 0,1 0,15 0 01 1 1 0 0

Вычислим обратную матрицу, используя Excel. Алгоритм вы- числения обратной матрицы имеет следующий вид.

12. Портфель ценных бумаг

367

1.Выделить поле для записи обратной матрицы.

2.Нажать на кнопку « f x ».

3.В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».

4.Выделить преобразуемую матрицу.

5.ÎÊ.

6.F2 одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

В результате получим матрицу, обратную матрице À:

	0,1639	0,3279	0,1639	11,8033	1,5082
	0,3279	0, 6557	0,3279	3, 6066	0, 0164
А 1	0,1639	0,3279	0,1639	8,1967	0,	4918 .
	11,8033 3, 6066		8,1967	190,164	15,
	11,8033 3, 6066		8,1967	190,164	15,	4098
	1,5082	0, 0164	0, 4918	15, 4098	1,5246

Для нахождения столбца состава портфеля нужно перемножить две матрицы:

	0,1639	0,3279	0,1639	11,8033	1,5082	0
	0,3279	0, 0100 0,3279		3, 6066	0, 0164		0
X	0,1639	0,3279	0,1639	8,1967			0
X	0,1639	0,3279	0,1639	8,1967	0, 4918		0	.
	11,8033	3, 6066	0, 4918	137, 7049	15, 4098	ap
	1,5082	8,1967	0, 0164	15, 4098	1,5246		1

Алгоритм вычисления произведения матриц имеет следующий вид.

1.Выделить поле для записи произведения матриц.

2.Нажать на кнопку « f x ».

3.В категориях «Математические» выбрать функцию «МУМНОЖ».

4.Выделить первую матрицу.

5.Выделить вторую матрицу.

6.ÎÊ.

7.F2 одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

368	III. Фондовый рынок

Для того чтобы компьютер вычислил произведение двух матриц, надо ар задать в виде числа. Однако более целесообразно полу-

чить зависимость состава оптимального портфеля как функцию от доходности ар . Для этих целей произведение двух матриц

можно представить как сумму двух произведений матриц:

		0,1639	0,3279			0,1639		11,8033		1,5082			0
		0,3279		0, 0100		0,3279		3, 6066 0, 0164					0
X		0,1639	0,3279			0,1639			8,1967 0, 4918				0	а	р
				3, 6066		0, 4918	137, 7049								р
	11,8033			3, 6066		0, 4918	137, 7049			15, 4098			1
		1,5082		8,1967		0, 0164		15, 4098		1,5246			0

		0,1639	0,3279			0,1639		11,8033		1,5082			0
		0,3279		0, 0100		0,3279		3, 6066 0, 0164					0
		0,1639	0,3279			0,1639
		0,1639	0,3279			0,1639			8,1967 0, 4918				0
	11,8033			3, 6066		0, 4918	137, 7049			15, 4098			0
		1,5082		8,1967		0, 0164		15, 4098		1,5246			1

	11,8033					1,5082			11,8033ap 1,5082
	11,8033					1,5082			3, 6066ap			0, 0164
		3, 6066				0, 0164			3, 6066ap			0, 0164
		8,1967		а	р	0, 4918			8,1967a		p	0, 4918			.
					р						p
137, 7049						15, 4098			137, 7049ap 15, 4098
		15, 4098				1,5243			15, 4098ap
									15, 4098ap			1,5243

Доли ценных бумаг первого x1 , второго x2											и третьего				x3

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля.

Используя нормировку (12.1), можно провести проверку полу- ченного результата. При этом сумма полученных зависимостей состава портфеля должна быть равна единице:

		x1 x2 x3				11,8033ap 1,5082
		3, 6066ap 0, 0164 8,1967ap 0, 4918 1.
Для построения			графика				ap p	äëÿ	заданных доходностей
проводят	расчет			состава			портфеля	è	риска. Например, для
ap 0,1 состав портфеля определяется соотношениями
		x1 0,32787;				x2 0,34426;			x3 0,32787.
Дисперсию портфеля находим по формуле
2 x2 2 x			2 2		x2 2		0,327872 0, 25 0,344262 0,5
p	1	1	2	2	3	3
				0,327872 0,8 0,17213.

12. Портфель ценных бумаг								369
Стандартное отклонение p 0, 415 .
Результаты расчета представлены в табл. 12.5.
								Таблица 12.5

	ap	0,06	0,07	0,08		0,09	0,1		0,157
	x1	0,8	0,682	0,564		0,446	0,328		0,009
	x2	0,2	0,236	0,272		0,308	0,344		0,442
	x3	0	0,082	0,164		0,246	0,328		0,549
	p	0,424	0,387	0,372		0,382	0,415		0,582
Построение графика функции					ap p â		Excel	приведено в

примере 12.2. График функции ap p представлен на рис. 12.2.

Доходность

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0	0,2	0,4	0,6	0,8
	Стандартное отклонение
Ðèñ. 12.2. Доходность-риск оптимального портфеля				

При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля ap по сравнению с граничными значениями,

представленными в табл. 12.5, доли общего вложения x j становятся отрицательными.

Из графика функции ap p примера следует, что возможно

существование экстремальной точки, в которой стандартное отклонение (дисперсия) портфеля имеет минимальное значение. Эту задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа:

n n
2p xi x j ij	min
i 1 j 1

370	III. Фондовый рынок

ïðè

x j 1 0.

j 1

Целевая функция Лагранжа для этого условия имеет вид:

		n	n		ij				n
	L xi x j				ij				x j		1 .
		i 1 j 1
		i 1 j 1						j 1
Координаты экстремальной точки							x j		находятся из системы ли-
нейных уравнений
			L		L	0.
			x j			0.
			x j
Систему этих линейных уравнений можно решить матричным
методом. Ее решение имеет вид:
2		2	...	2		1		x		0
	2 11	2 12	... 2 1n			1		x1			0
	21	22			2n	...			2
	... ... ... ...					...			...	... .
	2 n1	2 n2	... 2 nn			1					0
	2 n1	2 n2	... 2 nn			1		xn			0
	1	1	...	1		0					1

	2		2	...	2	1
	2 11		2 12	... 2 1n		1
		21	22		2n	...
Если матрицу риска обозначить через		...	... ... ...			...	,
		2 n1	2 n2	... 2 nn		1
		2 n1	2 n2	... 2 nn		1
		1	1	...	1	0

		x1
		x2
вектор состава	портфеля через		, а вектор правой части че-
вектор состава	портфеля через	...	, а вектор правой части че-
		xn

ðåç ... , то систему уравнений можно записать в виде

12. Портфель ценных бумаг	371
Найдем решение этого уравнения:
1 ,	(12.24)

ãäå 1 — матрица, обратная матрице .

 Пример 12.4. Условия примера 12.3.

Определить состав оптимального портфеля для минимально возможной дисперсии в матричной форме.

Р е ш е н и е. Составим матрицу риска

0,5		0	0	1
	0	1	0	1
	0	0 1, 6 1			.
	0	0 1, 6 1
	1	1	1	0

Найдем матрицу 1 , обратную матрице риска . Алгоритм вычисления обратной матрицы имеет следующий вид.

1.Выделить поле для записи обратной матрицы.

2.Нажать на кнопку « f x ».

3.В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».

4.Выделить преобразуемую матрицу.

5.ÎÊ.

6.F2 одновременно нажать кнопки Ctrl + Shift + Enter.

В результате получим матрицу, обратную матрице :

				0,897		0,552	0,345	0,552
		1	0,552			0, 724	0,172	0, 276
				0,345		0,172	0,517		.
				0,345		0,172	0,517	0,172
				0,552		0, 276	0,172	0, 276
Находим матрицу-столбец состава портфеля:
	0,897		0,552		0,345		0,552	0		0,552
	0,552			0, 724	0,172		0, 276	0		0, 276
	0,345		0,172			0,517				.
	0,345		0,172			0,517	0,172	0		0,172
	0,552			0, 276		0,172 0, 276		1	0, 276
Доли ценных бумаг первого x1 , второго								x2	и третьего x3

типов представлены соответственно в первой, второй и третьей строках матрицы-столбца состава портфеля.

Стандартное отклонение портфеля равно:

<<< < Предыдущая 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 7677 / 9377 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 > Следующая >>>