2.2. Коэффициенты полных материальных затрат

Системы уравнений (2.5) è (2.7) называются экономикоматематической моделью межотраслевого баланса Леонтьева или моделью «затраты-выпуск». С помощью этой модели можно определить, например, объем продукции конечного использования каждой отрасли yi , задав коэффициенты прямых материальных затрат

aij и величины валовой продукции каждой отрасли x j , по формуле

Е А .

Если известны объем продукции конечного использования каждой отрасли yi и коэффициенты прямых материальных затрат aij ,

то можно определить величины валовой продукции каждой области x j из соотношений

Систему уравнений (2.10) в матричной форме можно представить в виде обычной системы уравнений:

n

xi bij y j. (2.11) j 1

Перепишем систему (2.11) в развернутом виде:

Коэффициенты bij называются коэффициентами полных мате-

риальных затрат. Для уяснения их экономического смысла положим, что осуществляется выпуск конечной продукции лишь одной j-й отрасли. Если это, например, первая отрасль, то выпуск конеч-

ной продукции этой отрасли равен y1 , à y2 y3 ... yn 0 . Тогда (2.12) принимает вид:

x1 b11y1,

x2 b21y1,

..................

xn bn1y1.

Отсюда следует, что для того, чтобы обеспечить конечную продукцию в объеме y1, необходимо обеспечить валовой выпуск продукции всех отраслей соответственно в объеме b11, b21, ..., bn1 . Таким образом, элементы первого столбца матрицы В показывают коли- чество валовой продукции отраслей, необходимое для производства единицы продукции конечного использования первой отрасли. Точно так же элементы j-го столбца матрицы B показывают количество валовой продукции отраслей, необходимое для производства единицы продукции конечного использования j-й отрасли.

 Пример 2.1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.

Р е ш е н и е. Матрица полных материальных затрат вычисляется по формуле

В E A 1 bij .

Найдем

Определим обратную матрицу E A 1 . Для этих целей можно ис-

пользовать, например, метод Гаусса или воспользоваться услугами компьютерной программы Excel. Обратная матрица имеет вид:

1,528 0, 667 0,806E A 1 0,833 2 1,167 .

0, 694 0, 667 1, 639

Величины валовой продукции трех отраслей определим по формуле (2.9):

Эти значения валового выпуска по отраслям-производителям представлены в последнем столбце и последней строке табл. 2.2.

44 I. Основные характеристики макроэкономики

Соотношение для расчета величин межотраслевых потоков продукции рассчитывается по формуле (см. (2.4))

xij x j aij.

Например, x11 a11 x1 0,1 1127, 78 112, 778 ,

x12 a12 x2 0, 2 1633,33 326, 666 è ò.ä.

Промежуточное потребление находят как сумму потребления отраслями. Слагаемые этой суммы представлены в строках таблицы. Промежуточные затраты находят как сумму затрат. Слагаемые этой суммы представлены в столбцах таблицы. Эти две суммы равны друг другу.

Валовую добавленную стоимость определяют как разность между валовым выпуском и промежуточными затратами.

В квадранте IV табл. 2.2 приведено значение, показывающее, что сумма элементов квадранта III совпадает с суммой элементов квадранта II. ◄

2.3. Продуктивная матрица

В общем случае решение (2.9) уравнения (2.8) может иметь как положительные, так и отрицательные значения. В модели межотраслевого баланса эти решения могут быть только положительными, так как отрицательное значение валового выпуска лишено смысла. Отсюда следует задача о свойствах матрицы прямых материальных затрат A , при которых выпуски будут положительными.

Система (2.5), èëè (2.8), называется продуктивной, если она разрешима в неотрицательных xi , ò.å. xi 0 при условии, что мат- рица-столбец Y 0 . Матрица прямых материальных затрат в этом случае также называется продуктивной.

Продуктивность матрицы связана с ее собственным числом и вектором. Для матрицы размера n n вектор x называется собственным вектором матрицы А , если найдено такое число , что

Ax x.

Число называется собственным значением матрицы А , соответствующим вектору x . Перенеся левую часть уравнения в правую часть и принимая во внимание соотношение x E x , перепишем уравнение в виде:

E А x 0.

Для существования ненулевого решения этой системы линейных однородных уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

Этот определитель является многочленом n-й степени относительнои называется характеристическим многочленом матрицы А , а уравнение — характеристическим уравнением матрицы А . Корни этого уравнения соответствуют собственным числам матрицы А . Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Теорема о продуктивности матрицы [4, 6, 9] может быть сформулирована в следующем виде: модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда 1 .

Можно показать [4], что при 1 матрица E A 1 , обратная

матрице E A , будет положительной, т.е. E A 1 0 . Тогда для

любого положительного объема продукции конечного использования, описываемого матрицей-столбцом (вектором) Y 0 , решение

системы уравнений X E A 1 Y будет неотрицательным.

Другим, более простым признаком продуктивности матрицы A является ограничение на сумму элементов ее строк. Этот признак звучит следующим образом: если сумма элемента каждой строки не превосходит единицы, а сумма элементов хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна. Заметим, что в общем случае матрица может оказаться продуктивной и при сумме элементов строк более единицы.