9.6. Теории экономических циклов

Если не учитывать чистый экспорт, то основное макроэкономиче- ское тождество (6.2) для года под номером t можно записать в виде:

Yt Ct It Gt ,

— функция потребления для года под номером t , at —

автономное потребление для года под номером t , b — предельная склонность к потреблению (не зависит от времени); It Ia,t Iи,t —

спрос на инвестиции для года под номером t , Ia,t — автономные ин-

вестиции, объем которых для данной процентной ставки постоянен, Iи,t — индуцированные инвестиции, зависящие от приращения дохода

за прошлый и позапрошлый годы; Gt — государственные расходы для года под номером t .

Индуцированные инвестиции вычисляются по формуле

Iи,t V Yt 1 Yt 2 ,

ãäå V — акселератор.

Подставив в основное макроэкономическое тождество приведенные соотношения, получим

Yt at bYt 1 Ia,t V Yt 1 Yt 2 Gt b V Yt 1 VYt 2 at Ia,t Gt.

Перепишем эту формулу в виде:

ãäå At at Ia,t Gt .

Соотношение (9.1) называется неоднородным конечно-разностным линейным уравнением с постоянными коэффициентами второго

называется однородным конечно-разностным линейным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка.

Решение уравнения (9.1) определяется однозначно, если заданы два начальных условия. В качестве этих условий рассматриваются, например, значения Yt ïðè t 0 è t 1.

Если в уравнении (9.1) воздействие At A const , то говорят, что система находится на стационарной траектории. На этой траек-

Åñëè b V 2 4V 0 , т.е. если корни — комплексные числа и имеют вид:

то решение можно получить, подставив значение корней в (9.6). В результате найдем

где — модуль комплексного числа.

Таким образом, решение можно записать в виде:

Подставив туда t 1, найдем

y1 y0 cos D sin .

Отсюда находим:

D y1 y0 cos . sin

В правую часть этого соотношения входят только действительные значения.

Как следует из соотношений (9.6)—(9.8), поведение экономики зависит от вида траектории. Рассмотрим это подробно.

Напомним, что решение называется устойчивым, если при стремлении времени к бесконечности, т.е. t , решение стре-

такое решение называется неустойчивым.

Выход, определяемый уравнением (9.6) задается суммой двух показательных функций. Траектории, определяемые этими функциями, зависят от значения корней 1 è 2 . Åñëè ýòè

корни находятся в интервале от нуля до единицы, то траектория будет устойчивой. Действительно, при 0 1 1 è ïðè

0 2 1 имеем:

Реальный выход при t можно найти, используя замену (9.4):

Отсюда следует, что система выходит на стационарную траекторию теоретически при t . Практически считают, что система вышла на стационарную траекторию при значениях Yt , отличаю-

щихся от Y на несколько процентов.

Устойчивость рассматриваемого решения выражают также через предельную склонность к потреблению b и акселератор V . В этом случае должны выполняться неравенства

0 b V b V 2 4V 1. 2

Из этого соотношения следует, что если выполняется неравенство с плюсом перед корнем, то тем более выполняется неравенство с минусом перед корнем. Поэтому условие устойчивости можно выразить через одно неравенство:

Если хотя бы один корень больше единицы, то траектория будет неустойчивой. По условиям рассматриваемой задачи, первый корень всегда больше второго, т.е. 1 2 . Ïðè 1 1 имеем:

Если условие неустойчивого равновесия выражают через предельную склонность к потреблению b и акселератор V , то оно имеет вид:

b V b V 2 4V 2.

Графически устойчивые и неустойчивые траектории представлены на рис. 9.4.

yt

Неустойчивая траектория

Устойчивая траектория

Ðèñ. 9.4. Устойчивая и неустойчивая траектории

Выход, определяемый уравнением (9.7), задается одной из показательных функций и одной степенной. Если корень находится в интервале от нуля до единицы, то траектория будет устойчивой. Действительно, при 0 1 имеем:

tlim yt c1 tlim t c2 tlim t t 0.

Второй предел в правой части легко найти при помощи правила Лапиталя.

Условие устойчивости, выраженное через предельную склонность к потреблению b и акселератор V, имеет вид:

Если корень больше единицы, то траектория будет устойчивой.

Если в качестве выхода принять реальные значения Yt yt Y , то график устойчивой траектории будет иметь вид, показанный на рис. 9.7.

Ðèñ. 9.7. Устойчивая траектория для реального процесса

На рис. 9.8 представлена неустойчивая траектория колебательного процесса для функции yt .

 Пример 9.1. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид: Сt 100 0, 76 Yt 1 , а функция спроса на инвестиции —

It 500 V Yt 1 Yt 2 .

Построить траектории при следующих значениях акселератора:

том замены (9.4) конечно-разностное уравнение принимает вид: yt 0, 76 V yt 1 Vyt 2 . Рассмотрим разные варианты.

Решение (9.8) можно записать в виде:

yt 0,89t В cos 0,51 t D sin 0,51 t .

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt 0,89t В cos 0,51 t D sin 0,51 t 2500.

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt 0,89t 1500 cos 0,51 t 310 sin 0,51 t 2500.

График этой функции представлен на рис. 9.10.

Ðèñ. 9.10. Устойчивая колебательная траектория

Вариант 3. V1 1, 5 . Конечно-разностное уравнение имеет вид: yt 0, 76 1,5 yt 1 1,5yt 2.

Корни уравнения равны

Выразим корни через экспоненту:

Решение (9.8) имеет вид:

yt 1, 47t В cos 0, 69 t D sin 0, 69 t .

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt 1, 47t В cos 0, 69 t D sin 0, 69 t 2500.

Система неустойчива, так как 1 .

В è D находят из начальных условий Y0 1000 , Y1 1200 . Ïîä-

ставив в полученное уравнение t 0 , получим 1000 В 2500 , èëè В 1500 . Подставив в уравнение t 1, найдем:

1200 1, 47 1500 cos 0, 69 D sin 0, 69 2500.

Вариант 4. V1 2, 5 . Перепишем конечно-разностное уравнение: yt 0, 76 2, 5 yt 1 2,5yt 2.

Корни уравнения равны

Система неустойчива, так как корни больше единицы. Решение имеет вид:

yt c1 4, 05t c2 2, 47t.

Используя замену (9.4), получим уравнение для истинного выхода:

Yt c1 4, 05t c2 2, 47t 2500.

Постоянные c1 è c2 находят из граничных условий. По условиям примера Y0 1000 , à Y1 1200 . Подставив эти данные в уравнение для истинного выхода, получим систему уравнений:

244 II. Макроэкономическое равновесие на рынках

Решив эту систему, получим:

c1 24051,58 1522 , c2 3022 .

Истинная траектория имеет вид:

Yt 1522 4, 05t 3022 2, 47t 2500.

График этой траектории представлен на рис. 9.12.

Ðèñ. 9.12. Неустойчивая траектория ◄

Из приведенного примера следует, что при больших значениях акселератора экономическая система становится неустойчивой.

Таким образом, процесс будет колебательным при выполнении условия

b V 2 4V 0

èмонотонным — при выполнении условия

b V 2 4V 0 .

Граница между этими двумя процессами определяется уравнением

Решение этого уравнения имеет вид:

Поскольку по условиям модели b является величиной положительной, а второй корень в решении не удовлетворяет этому условию, то его надо отбросить. В результате имеем

Эта зависимость является границей между монотонной и колебательной траекториями. Графически эта граница представлена на рис. 9.13.

Ðèñ. 9.13. Граница между монотонной и колебательной траекториями

Все сочетания b è V , которые лежат ниже кривой на рис. 9.13, приводят к колебательному процессу, а сочетания этих параметров, лежащих выше кривой, приводят к монотонному процессу.

Рассмотрим условия устойчивого и неустойчивого равновесия для колебательного процесса. Для этих целей запишем выражение для модуля комплексного числа:

прямоугольнике, ограниченном точками 0, 0 , 0,1 , 1,1 è 1, 0 , то система является устойчивой, причем для точек, расположенных

выше кривой, система имеет монотонную траекторию, а для точек, расположенных ниже кривой, — колебательную траекторию. Если точка V ,b располагается в прямоугольнике, ограниченном точка-

ìè 0,1 , 0, 4 , 4, 4 è 1,1 , то система является неустойчивой,

причем для точек, расположенных выше кривой, система имеет монотонную траекторию, а для точек, расположенных ниже кривой, — колебательную траекторию.

В рассмотренном примере для акселератора, равного 1,5 и 2,5, выход за короткий период времени увеличивается многократно и в пределе стремится к бесконечности (рис. 9.11, 9.12). Если в любой модели выход стремится к бесконечности, то это означает, что не все показатели, действующие на систему, учтены. Это связано с тем, что обычно для простоты характеристики модели принимаются линейными, что и ведет к бесконечному увеличению некоторых параметров. Реальные характеристики системы, как правило, нелинейные. Это ограничивает бесконечный рост выхода, но усложняет анализ. Обычно исследователь принимает модель линейной, как в рассматриваемом случае, проводит ее анализ, а затем накладывает дополнительные условия, что и сделал английский экономист Дж. Хикс.

По Хиксу, существуют два ограничителя, которые препятствуют, с одной стороны, увеличению выхода, а с другой — его уменьшению. Верхним ограничителем является уровень полной занятости, а нижним — величина амортизационных отчислений. Выход, или доход, не может превысить доход полной занятости, что и ограничивает его рост сверху. С другой стороны, спрос на инвестиции для года под номером t , вычисляемый по формуле

It Ia,t V Yt 1 Yt 2 , может как увеличиваться, так и уменьшаться. Это зависит от знака разности Yt 1 Yt 2 . Поскольку объем спроса

на инвестиции не может быть ниже суммы амортизации, то это ограничивает траекторию дохода снизу. Хикс считал, что траектория изменяет свое направление всякий раз, как достигает верхней или нижней границы. Поэтому траектория носит колебательный характер. Приближенно траектория может быть описана гармонической функцией, как показано на рис. 9.14. Эта функция ограничена сверху и снизу.

248 II. Макроэкономическое равновесие на рынках

 Пример 9.2. Функция потребления домашних хозяйств имеет вид: Сt 100 0, 76 Yt 1 , а функция спроса на инвестиции —

It 500 0,8 Yt 1 Yt 2 . Автономный спрос ежегодно увеличивает-

ñÿ íà 2%.

Построить траекторию при следующих значениях граничных условий Y0 1000 , Y1 1200 .

Р е ш е н и е. Правая часть уравнения (9.11) равна:

At 100 500 1 0, 02 t 600 1, 02t .

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле (9.12):

Решение можно записать в виде:

yt 0,89t В cos 0,51 t D sin 0,51 t .