Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt 0,89t 1505 cos 0,51 t 428 sin 0,51 t 2505 1, 02t.

График этой функции представлен на рис. 9.15.

Ðèñ. 9.16. Траектория при росте населения ◄

При работе в области неустойчивого равновесия на развитие выхода действуют два ограничителя Хикса, которые препятствуют увеличению и уменьшению выхода. Поэтому общая тенденция, или тренд, состоит в увеличении выпуска за счет роста населения, а относительно этого тренда происходят колебания, например, так, как показано на рис. 9.1.

9.6.2. Модель Тевеса

В модели Тевеса помимо показателей рынка товаров используются также показатели рынка денег, который воздействует на экономику через процентную ставку. Для того чтобы учесть это, из суммы автономных расходов At в соотношении (9.1) выделим автономные ин-

вестиции Ia,t . Будем считать теперь, что величина автономных инвестиций зависит от процентной ставки предшествующего периода, т.е.

Ia,t I0 drt 1 ,

ãäå d — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки.

Остальные показатели, как и прежде, не зависят от времени. В результате имеем:

At a G I0 d rt 1 A d rt 1.

В гл. 8 было показано, что спрос на реальные кассовые остатки, при котором устанавливается равновесие, можно определить соотношением

изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска; Y — объем выпуска в натуральном исчислении; h — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной ставки; r — процентная ставка.

Отсюда можно найти:

rt kh Yt 1 hMР.

Для периода под номером t 1 можно записать:

Уравнение (9.14) отличается от уравнения (9.3) только коэффициентом при Yt 2 . Поэтому подходы к анализу модели Тевеса ни- чем не отличаются от используемых выше подходов. В частности,

Yt Y const при любом t . В результате получим:

Y b V Y V U Y E.

Отсюда можно найти формулу для расчета величины выхода на стационарной траектории:

Подставив замену в выражение (9.14) и проведя необходимые преобразования, получим однородное уравнение

Корни характеристического уравнения этого однородного ко- нечно-разностного линейного уравнения с постоянными коэффициентами вычисляются по формуле

Вид решения этого уравнения зависит от типа корней. Решение определяется формулой (9.6) при действительных и различных корнях, формулой (9.7) при действительных и равных корнях и формулой (9.8), если корнями являются комплексные числа.

Граница между колебательным и монотонным процессами определяется уравнением

Решение этого уравнения имеет вид:

252 II. Макроэкономическое равновесие на рынках

Поскольку по условиям модели b является величиной положительной, а второй корень в решении не удовлетворяет этому условию, то его надо отбросить. В результате имеем:

b V 2 V U .

Примем, например, скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки d 10 , скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска k 0,1 , скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной

границы между колебательным и монотонным процессами принимает вид:

b V 2 V 0,5 .

График этой функции представлен на рис. 9.16.

Ðèñ. 9.16. График b îò V

Из графика этого рисунка следует, что склонность к потреблению b при малых значениях акселератора V для показателя U 0,5 превышает единицу. По экономическому смыслу эта величина не должна превышать единицу, поэтому граница между колебательной и монотонной траекториями будет проходить так, как показано на рис. 9.17.

Границы интервала, в котором склонность к потреблению принимается равной единице, определяют в общем случае из уравнения

1 V 2 V U .

Решение этого уравнения имеет вид:

V1,2 1 2 U .

Для рассматриваемого примера V2 1 2 0,5 2, 414 . Таким образом, при изменении акселератора V от 0 до 2,414 процесс будет колебательным, а от 2,414 до 4,4 будет колебательным, если координата b находится ниже кривой, и монотонной — если выше.

Условия устойчивого и неустойчивого равновесия так же, как и выше, определяются для колебательного процесса по модулю комплексного числа:

система устойчива, а при V U 1 система неустойчива.

строить траекторию при следующих значениях граничных условий Y0 1000 , Y1 1200 .

Р е ш е н и е. По условиям примера коэффициенты в уравнении

(9.14) равны:

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле

Неоднородное конечно-разностное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

Yt 1,56 Yt 1 Yt 2 880.

Введем замену:

y Y Y Y 2000.

Подставим замену в неоднородное конечно-разностное уравнение:

yt 2000 1,56 yt 1 2000 yt 2 2000 880.

Конечно-разностное уравнение принимает вид: yt 1, 56 yt 1 yt 2.

Корни уравнения равны: