Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf
Скачиваний:
71
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
7.08 Mб
Скачать

9. Экономические циклы

 

 

249

1000 В 2505 , èëè

В 1505 . Подставив

в уравнение t 1,

найдем:

 

 

 

 

1200 0,89 1505 cos 0,51 D sin 0,51 2505 1, 02 .

Отсюда находим

 

 

 

 

1200 2505 1, 02 1505cos 0, 51

 

D

 

0,89

 

428 .

 

sin 0, 51

 

 

 

Таким образом, уравнение для истинного выхода имеет вид:

Yt 0,89t 1505 cos 0,51 t 428 sin 0,51 t 2505 1, 02t.

График этой функции представлен на рис. 9.15.

Реальный выход

Ðèñ. 9.16. Траектория при росте населения

При работе в области неустойчивого равновесия на развитие выхода действуют два ограничителя Хикса, которые препятствуют увеличению и уменьшению выхода. Поэтому общая тенденция, или тренд, состоит в увеличении выпуска за счет роста населения, а относительно этого тренда происходят колебания, например, так, как показано на рис. 9.1.

9.6.2. Модель Тевеса

В модели Тевеса помимо показателей рынка товаров используются также показатели рынка денег, который воздействует на экономику через процентную ставку. Для того чтобы учесть это, из суммы автономных расходов At в соотношении (9.1) выделим автономные ин-

вестиции Ia,t . Будем считать теперь, что величина автономных инвестиций зависит от процентной ставки предшествующего периода, т.е.

Ia,t I0 drt 1 ,

ãäå d — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки.

250

II. Макроэкономическое равновесие на рынках

Остальные показатели, как и прежде, не зависят от времени. В результате имеем:

At a G I0 d rt 1 A d rt 1.

Тогда уравнение (9.1) можно переписать в виде:

 

Yt b V Yt 1 VYt 2 A d rt 1.

(9.13)

В гл. 8 было показано, что спрос на реальные кассовые остатки, при котором устанавливается равновесие, можно определить соотношением

 

M k Y

h r ,

 

P

t 1

t

 

 

 

ãäå

M — заданное количество денег в экономике; Р — уровень цен;

k

— коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость

изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска; Y — объем выпуска в натуральном исчислении; h — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной ставки; r — процентная ставка.

Отсюда можно найти:

rt kh Yt 1 hMР.

Для периода под номером t 1 можно записать:

 

 

r

k

Y

 

M

.

 

 

 

 

 

 

 

t 1

h

t 2

 

h P

 

Подставив это в (9.13), получим

 

 

 

 

 

 

Yt b V Yt 1 V U Yt 2 E ,

(9.14)

ãäå U d k

;

E A d M .

 

 

 

 

 

 

h

 

h P

 

 

 

 

 

 

Уравнение (9.14) отличается от уравнения (9.3) только коэффициентом при Yt 2 . Поэтому подходы к анализу модели Тевеса ни- чем не отличаются от используемых выше подходов. В частности,

9. Экономические циклы

251

для определения выхода

на стационарной траектории положим

Yt Y const при любом t . В результате получим:

Y b V Y V U Y E.

Отсюда можно найти формулу для расчета величины выхода на стационарной траектории:

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

.

 

 

1 b U

 

 

Введем замену

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

E

.

(9.15)

y Y Y

 

 

 

1

b U

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив замену в выражение (9.14) и проведя необходимые преобразования, получим однородное уравнение

yt b V yt 1 V U yt 2.

(9.16)

Корни характеристического уравнения этого однородного ко- нечно-разностного линейного уравнения с постоянными коэффициентами вычисляются по формуле

 

 

 

b V

b V 2 4 V U

.

1,2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид решения этого уравнения зависит от типа корней. Решение определяется формулой (9.6) при действительных и различных корнях, формулой (9.7) при действительных и равных корнях и формулой (9.8), если корнями являются комплексные числа.

Граница между колебательным и монотонным процессами определяется уравнением

b V 2 4 V U 0

или b2 2bV V 2 4 V U 0.

Решение этого уравнения имеет вид:

b

2V 4V 2 4

V 2 4

V U

V 2

V U .

2

 

 

 

 

 

252 II. Макроэкономическое равновесие на рынках

Поскольку по условиям модели b является величиной положительной, а второй корень в решении не удовлетворяет этому условию, то его надо отбросить. В результате имеем:

b V 2 V U .

Примем, например, скорость изменения автономных инвестиций от процентной ставки d 10 , скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от объема выпуска k 0,1 , скорость изменения спроса на реальные кассовые остатки от процентной

ставки h 2 . Тогда

U d k

 

10 0,1

0,5 . Тогда уравнение для

 

h

 

2

 

границы между колебательным и монотонным процессами принимает вид:

b V 2 V 0,5 .

График этой функции представлен на рис. 9.16.

Склонность

потреблению

 

ê

Ðèñ. 9.16. График b îò V

Из графика этого рисунка следует, что склонность к потреблению b при малых значениях акселератора V для показателя U 0,5 превышает единицу. По экономическому смыслу эта величина не должна превышать единицу, поэтому граница между колебательной и монотонной траекториями будет проходить так, как показано на рис. 9.17.

9. Экономические циклы

 

 

 

 

253

 

1,2

 

 

 

 

 

Склонность потреблению

1

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

 

 

 

 

Акселератор

 

 

Ðèñ. 9.18. Граница между колебательной и монотонной траекториями

Границы интервала, в котором склонность к потреблению принимается равной единице, определяют в общем случае из уравнения

1 V 2 V U .

Решение этого уравнения имеет вид:

V1,2 1 2 U .

Для рассматриваемого примера V2 1 2 0,5 2, 414 . Таким образом, при изменении акселератора V от 0 до 2,414 процесс будет колебательным, а от 2,414 до 4,4 будет колебательным, если координата b находится ниже кривой, и монотонной — если выше.

Условия устойчивого и неустойчивого равновесия так же, как и выше, определяются для колебательного процесса по модулю комплексного числа:

 

 

b V

2

 

 

4 V U b

V

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b V 2

b V 2 4 V U

V U,

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V U .

 

 

 

(9.17)

Отсюда следует, что

1

ïðè V U 1 . Поэтому при V U 1

система устойчива, а при V U 1 система неустойчива.

254

II. Макроэкономическое равновесие на рынках

Пример 9.3. Функция потребления домашних хозяйств имеет

âèä: Сt 100 0, 76 Yt 1 ,

функция спроса на

инвестиции —

It 500 4rt 1 0,8 Yt 1 Yt 2 , а функция спроса на реальные

кассовые остатки — M 0,1 Y

2 r , причем

M 140 . Ïî-

P

t 1

t

P

 

 

строить траекторию при следующих значениях граничных условий Y0 1000 , Y1 1200 .

Р е ш е н и е. По условиям примера коэффициенты в уравнении

(9.14) равны:

 

U d k 4 0,1 0, 2 ,

 

 

h

2

 

 

b V 0, 76 0,8 1, 56 ,

 

 

V U 0,8 0, 2 1 ,

 

E a I0

d M

100 500 4 140

880.

 

h P

2

 

Величина выхода на стационарной траектории определяется по формуле

 

 

 

E

 

880

 

Y

 

2000 .

1 b U

1 0, 76 0, 2

Неоднородное конечно-разностное линейное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид:

Yt 1,56 Yt 1 Yt 2 880.

Введем замену:

y Y Y Y 2000.

Подставим замену в неоднородное конечно-разностное уравнение:

yt 2000 1,56 yt 1 2000 yt 2 2000 880.

Конечно-разностное уравнение принимает вид: yt 1, 56 yt 1 yt 2.

Корни уравнения равны:

 

1,2

 

1,56

1,56

2 4

 

1,56

2, 4336 4

0, 78

0, 626 i.

 

2

 

 

2