Таким образом, выпуск, потребление и инвестиции развиваются с годовым приростом, равным 20%. 

5.3. Модель Солоу

Модель, предложенная американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу, позволяет более точно описать некоторые особенности макроэкономических процессов за счет ряда особенностей.

Производственная функция в модели Солоу нелинейная. В ка- честве выхода принимается внутренний валовой продукт, который будем обозначать буквой Y .

Модель учитывает выбытие основного капитала, или фондов. Величину основного капитала будем обозначать буквой K . Темп выбывших за год основных производственных фондов обозначим буквой .

Модель включает описание динамики трудовых ресурсов и их влияния на экономический рост. Число занятых в производстве людей, или труд, обозначим через L . Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей обозначим буквой .

В модель Солоу входят также инвестиции, которые обозначаем через I . Принимается, что инвестиции изменяются прямо пропорционально внутреннему валовому продукту с коэффициентом пропорциональности . Таким образом, I Y . Коэффициент про-

порциональности называется нормой накопления. Он показывает

долю валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте. Потребление обозначим буквой C .

Таким образом, состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными, являющимися функциями времени. Время измеряется в годах.

Указанные параметры , , ограничены естественными границами:

0 1, 0 1 , 1 1.

Значения этих параметров постоянны во времени, причем норма накопления считается управляющим параметром, т.е. в на-

чальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

На рис. 5.1 приведена схема функционирования экономики согласно модели Солоу.

I Y

Ðèñ. 5.1. Схема функционирования экономики

Предполагается, что выпуск в каждый момент времени определяется неоклассической производственной функцией Y F K, L , например, функцией Кобба—Дугласа:

числа занятых за этот временной интервал. Годовой темп прироста числа занятых в производстве людей , умноженный на тот же временной интервал t , также равен темпу прироста числа занятых в

производстве людей. Из сказанного следует: соотношение LL t .

ференциального уравнения имеет вид: ln L t ln В , ãäå ln В — ïî-

L L0e t.

Найдем уравнение для фондов. Из постановки задачи следует, что фонды за временной интервал dt уменьшаются за счет их выбытия и увеличиваются за счет инвестиций. Их общее изменение за этот интервал составит dK Kdt Idt . Отсюда получаем дифференциальное уравнение

dKdt K I.

Начальное условие для этого уравнения имеет вид: K 0 K0 .

Таким образом, модель Солоу в абсолютных показателях может быть представлена в виде:

Исследование модели Солоу проведем для производственной функции Кобба—Дугласа (5.9). Для удельного внутреннего валового

k L L dkdt kL I.

Разделив правую и левую части этого соотношения на L , получим: dkdt k k i k f k .

Из сказанного следует, что в удельных показателях модель Солоу приобретает вид:

Изменяющиеся во времени показатели, определяемые моделью (5.10) è (5.12), называются соответственно абсолютными è относительными траекториями.

Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени. Такая ситуация возможна в будущем, когда выход практически не изменяется со временем. Для стационарной траектории введем следующие обозначения:

Верхний индекс «ноль» у показателя указывает на то, что показатель относится к стационарной траектории.

После выхода траектории на стационарный режим производная

dk 0 0 . Для этого режима дифференциальное уравнение принима- dt

åò âèä:

Ðèñ. 5.2. Графический метод решения нелинейного уравнения

Если в начальный момент времени k0 k 0 , то экономика нахо-

дится на стационарной траектории и сойти с нее может только при изменении внешних условий, например, при изменении функции

Y F K, L (переход к новым технологиям). При k k 0 в эконо-

мике будет происходить переходной режим, который закончится установлением стационарного режима.

Точку k 0 находят из уравнения (5.13), подставив туда (5.11):

k 0 A k 0 .

Решим это уравнение относительно k 0:

1

k* является решением уравнения, которое получается путем при-

Для описания переходного режима необходимо решить дифференциальное уравнение из (5.12), которое для производственной функции Кобба—Дугласа (5.11) приобретает вид:

dkdt k A k .

Введя замену k ue t , получим

dudt e t u e t u e t A u e t ,

èëè

dudt A u e 1 t.

Это уравнение с разделяющимися переменными

du A e 1 tdt.

u

Его решение имеет вид:

жительной при возрастающей функции и отрицательной — при убывающей. Положив первую производную положительной, получим

следует, что переходной процесс будет возрастающим при k k 0 . Аналогично можно показать, что переходной процесс будут убывающим при k k 0 .

Проведем исследование функции (5.17) на наличие точки перегиба. Для этих целей определим вторую производную и приравняем ее нулю:

Сопоставив полученное решение с приведенной ранее формулой для вычисления абсциссы k k* , при которой скорость роста функций g2 k равна росту скорости функции, видим, что эти

формулы совпали. Отсюда находим, что абсцисса точки перегиба равна

kk* .

Âобщем случае для траектории фондовооруженности выделяют

òр и типа переходного процесса. Эти типы зависят от соотноше-

ния трех абсцисс: k0 , k* è k 0 .

1. Пусть k0 k* . В этом случае с начала процесса до достиже-

ния точки перегиба имеем ускоренный рост фондовооруженности. При достижении точки перегиба этот процесс сменяется замедлен-