9.6.3. Модель Гудвина

Экономические циклы в модели Гудвина возникают вследствие изменения и перераспределения национального дохода между трудом и капиталом.

Доля национального дохода, получаемого работниками (доля труда в национальном доходе), в зависимости от времени t , измеряемого в годах, вычисляется по формуле [6]

и средней производительности труда по времени.

Из двух приведенных в скобках дробей рассмотрим отношение

q t

q t , которое запишем в виде:

за этот срок можно представить в виде прямой линии, то можно

где — годовой темп прироста производительности труда, причиной которого является технический прогресс.

Другая дробь также может быть представлена годовым темпом прироста ставки реальной заработной платы:

В общем случае годовой темп прироста ставки реальной заработной платы является функцией от показателя занятости, опреде-

ляемого по формуле t LL* tt , ãäå L* t — число занятых при

нормальной загрузке производственных мощностей, когда объем предложения на рынке труда равен объему спроса. Если разложить функцию для годового темпа прироста ставки реальной заработной платы в ряд Тейлора и ограничиться линейным слагаемым, то эту функцию можно представить в виде:

где и — постоянные коэффициенты.

Теперь темп прироста доли труда в национальном доходе можно записать в виде:

Приращение для показателя занятости запишем в виде:

Отсюда находим темп прироста числа занятых работников:

равно инвестициям, т.е. K t I t . Таким образом, на инвести-

ции идет часть национального дохода, оставшаяся после выплат работникам. Поэтому инвестиции вычисляются по формуле

I t 1 t Y t .

Используя эти данные, формулу для темпа прироста капитала можно записать в виде:

ãäå KY — капиталоемкость национального дохода.

Окончательно выражение для темпа прироста показателя занятости можно записать в виде:

Соотношения (9.18) è (9.19) образуют модель Гудвина. Заменив в этих соотношениях приращения дифференциалами, получим систему дифференциальных уравнений:

Такие системы дифференциальных уравнений решаются обычно приближенными цифровыми методами [3]. Для того чтобы представить вид исследуемых функций, рассмотрим пример.

 Пример 9.4. В экономике темп прироста производительности

труда составляет qt 0, 05 , капиталоемкость национально- qt

Построить графические зависимости прироста показателя занятости и доли труда в национальном доходе от времени.

Р е ш е н и е. Подставив данные из примера в систему уравнений (9.20), получим:

d 0, 6 t t 0, 618 t ,

dt

d 0, 2 t t 0,13 t .

dt

Такую систему дифференциальных уравнений с высокой степенью точности можно решить практически на любом современном компьютере. Для этих целей можно использовать без ущерба для точности самый простой метод, называемый методом ломаных. Для этих целей выбираются начальные точки ин-

тегральных кривых 0, 0 è 0, 0 . Из системы дифференци-

альных уравнений находят направления касательных к этим интегральным кривым в точке t 0 . В положительном направ-

системы дифференциальных уравнений находят направления касательных к интегральным кривым в точке t h . В положи-

прием, рассчитаны графики функций показателя занятости и доли труда в национальном доходе и построены графики этих функций, которые представлены на рис. 9.19.