Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
7.08 Mб
Скачать

Ответы и решения

Глава 1

Òåñò 1.1. Правильный ответ: 1, 2, 3, 4.

Задача 1.1. Уравнения для новых условий задачи принимают вид:

1 0,15 р1

 

0,14 р2

 

0,8;

0, 4 р1

 

1 0,12 р2

 

3, 6.

Правые части уравнений системы равны показателям матрицы, так как цена одного человеко-года труда была принята равной 1 ден. ед.:

 

0,85

0,14

1

 

0,8

1, 272

0, 202

 

0,8

1, 746

 

Р

0, 4

0,88

 

 

3, 6

 

 

0,578

1, 223

 

 

3, 6

 

 

4,884

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, новая цена 1 ед. сельскохозяйственной продукции равна 1,746 ден. ед., а 1 ед. промышленной продукции — 4,884 ден. ед.

Глава 2

Задача 2.1. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:

 

 

 

 

3

2

 

0 , 2 7 10 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

Корни этого уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

7

 

49 10 7 3 ,

5,

 

2

2 .

 

 

2

 

4

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для двух переменных система уравнений (2.13) имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

Подставив сюда значения корней

1

5,

2 2 , получим две

системы уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 2x 0,

x 2x 0,

 

 

 

 

 

x1

x 2 0;

x1 2x2

0.

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

2

 

 

 

Каждая система является одним уравнением, что и следовало ожидать. Это связано с тем, что определитель системы равен нулю.

Из первой системы для 1 5 и из второй для 2 2 следует, что координаты собственных векторов связаны соотношениями

x1 x2 , x1 2x2 .

416

Поскольку x2 — произвольное число, то любому собственному значению матрицы соответствует бесконечное множество собственных векторов различной длины. Положим x2 b , ãäå b 0 — любое число. Тогда собственные векторы можно записать в виде:

 

5,

x 1 b ;

 

2

2,

x 2

 

2b .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

Задача 2.2. Решение этой системы имеет вид (2.16):

 

 

 

X t

Е A B 1 Y t B X t 1 .

 

 

 

Найдем сумму матриц

A В:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,3 0,1

0, 4

0, 06 0, 02

0, 08

0, 36

0,12

0, 48

А В

0, 2 0,5

0, 0

 

 

0, 04

0,10

0, 00

 

 

0, 24

0, 60 0, 00

.

 

0,3 0,1

0, 2

 

 

0, 06 0, 02 0, 08

 

 

0, 36

0,12

0, 28

 

 

 

 

 

 

 

Матрица A В является продуктивной, так как сумма величин

любого столбца более единицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица E A В E A В

 

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 64

0,12

0, 48

 

 

 

 

Е А В

0, 24

 

0, 40

0, 00

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,36

0,12

0, 72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим обратную матрицу E A k 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

25

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

14

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E A k

1

 

15 25

10

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

355

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

84

126

 

 

 

 

Величины валовой продукции трех отраслей определим по формуле X t Е A B 1 Y t B X t 1 . Найдем вначале произве-

дение двух матриц:

 

0, 06

0, 02

0, 08

775, 5102

 

115,102

 

В X t 1

 

0, 04

0,10

0, 00

 

 

510, 2041

 

 

82, 0408

.

 

 

0, 06

0, 02

0, 08

 

 

729,5918

 

 

115,102

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы и решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

417

Затем определим разность матриц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

300

 

115,102

 

 

184,898

 

k X

t 1

 

 

200

 

 

 

82, 0408

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

117, 9592

.

 

 

 

 

 

400

 

 

 

115,102

 

 

284,898

 

Подставив полученные результаты в исходную формулу, полу-

чим вектор валовой продукции отраслей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

25

50

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

14

21

 

184,898

 

1549,32

 

 

 

 

 

X t E A k 1 Y kX t 1

15

 

25

10

 

117,9592

 

1224, 49

.

 

 

 

7

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

284,898

 

1374, 43

 

 

 

 

15

 

125 355

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

84

126

 

 

 

 

 

Прирост валовой продукции i отрасли определяется по формуле

 

1549,32

775,5102

773,810

 

X t X t 1 1224, 49

 

 

510, 2041

 

 

714, 286

.

 

 

 

 

 

 

729, 5918

 

 

644,838

 

 

 

1374, 43

 

 

 

 

 

 

Поставка продукции фондообразующей отрасли i

на инвести-

ционные цели отрасли j находят из соотношения

 

 

 

 

zijt bijt x jt x jt 1 .

 

 

 

 

 

Подставив сюда полученные результаты, найдем:

 

 

 

z11t

b11t x1t x1t 1 0, 06 773,81 46, 43 ;

 

 

z12t

b12t x2t

x2t 1 0, 02 714, 286 14, 29 ;

 

z13t

b13t x3t

x3t 1 0, 08 644,838 51,59 ;

 

z21t b21t x1t x1t 1 0, 04 773,81 30,95 ;

 

 

z22t b22t x2t x2t 1 0,1 714, 286 71, 43 ;

 

 

 

z23t b23t x3t x3t 1 0 644,838 0 ;

 

 

 

z31t

b31t x1t x1t 1 0, 06 773,81 46, 43 ;

 

 

418

 

 

 

z32t b32t x2t x2t 1 0, 2 714, 286 14, 29 ;

 

 

 

 

 

 

z23t b23t x3t x3t 1 0, 08 644,838 51,59 .

 

 

 

 

Проведем проверку, подставив результаты в правую часть ис-

ходной формулы:

 

 

B X t X t 1 Y t ;

 

 

 

 

 

 

 

X t AX t

 

 

 

 

0,3

0,1

0, 4

1549, 32

 

0, 06

0, 02 0, 08

773,810

300

 

 

А

0, 2

0, 5

0, 0

1224, 49

 

 

0, 04

0,10 0, 00

 

714, 286

 

200

 

 

 

0,3

0,1

0, 2

1374, 43

 

 

0, 06

0, 02 0, 08

 

644,838

 

400

 

 

1137, 02

112,30

 

300

 

1549,32

 

 

922,11

102,

38

 

 

200

 

1224,

49

.

 

862,13

112,

30

 

 

400

 

1374,

43

 

Задача 2.3. Максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента определим по формуле

 

 

 

 

0

 

0

 

216 162

1 2

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

Bx

 

 

 

 

 

3 4

125

 

 

 

r

 

 

 

 

1

 

 

 

1 0, 08.

P

0

Аx

0

 

 

2

2

100

 

 

 

 

 

 

 

 

216 162

4 112

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81 125

 

Луч Неймана, или магистраль, соответствующая максимальному сбалансированному росту, определяется соотношением

 

 

t

 

 

 

t

 

 

0

 

t

100

 

X

1

X

1, 08

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

Глава 3

Задача 3.1. Эластичность замещения фондов трудовыми ресурсами находят по формуле

EL K a2 0, 594 1,1. a1 0, 539

Эластичность замещения трудовых ресурсов фондами определяется соотношением

EK L a1 0,539 0,91. a2 0,594