Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 СЕМЕСТР. Экономика. Макроэкономика Кузнецов Б.Т / Макроэкономика_Кузнецов Б.Т_Уч. пос_2011 -458с.pdf
Скачиваний:
98
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
7.08 Mб
Скачать

66

I. Основные характеристики макроэкономики

3.3.Мультипликативная макроэкономическая производственная функция

Для решения и анализа задач экономики часто используют мультипликативную (от ëàò. — умножаю, увеличиваю) производственную функцию. Мультипликативная функция имеет вид:

Y АK a1 La2 ,

ãäå А — коэффициент технического прогресса; a1 è a2 — показатели степени.

Позже покажем, что эти показатели являются эластичностями по труду и фондам.

Частным случаем мультипликативной производственной функции является функция Кобба—Дугласа, у которой a1 è a2 1 .

Таким образом, функция Кобба—Дугласа может быть записана следующим образом:

 

 

 

Y АK L1 ,

(3.1)

ãäå А 0 ;

0 1 ;

K 0 ;

L 0 .

 

Проведем анализ функции Кобба—Дугласа (3.1) на предмет ее соответствия свойствам, приведенным в § 3.2.

Положив в производственной функции K 0 èëè L 0 , видим, что исследуемая производственная функция равна нулю, т.е. выполняется свойство 1, утверждающее, что при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно.

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по капиталу:

Y

A K 1L1

A K L1

 

Y

 

 

 

.

K

K

K

Найдем выражение для первой частной производной производственной функции по труду:

Y

A 1 K L

A 1 K L1

1 Y .

L

L

 

L

3. Макроэкономические производственные функции

67

Поскольку первые частные производные положительны, то исследуемая функция возрастающая, т.е. выполняется свойство 2.

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по капиталу:

2Y

A 1 K 2L1

A 1

K L1

 

 

 

 

K 2

K 2

 

1 KY2 1 KY2 .

Найдем выражение для второй частной производной производственной функции по труду:

2

 

1

 

A 1

 

K L1

Y

Y

A 1 K

 

 

 

 

1

2

L

 

 

 

 

 

.

 

2

 

2

L

 

 

 

 

L

 

 

 

L

Так как вторые частные производные отрицательны, то с ростом ресурсов скорость роста выпуска замедляется. Следовательно, выполняется свойство 3.

При неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет, так как выполняется условие:

lim AK L1 ;

lim AK L1 .

K

L

Таким образом, выполняется свойство 4.

Приравнивая первые производные от производственной функции нулю и решая эти уравнения, получим решения L 0 è K 0 . В этих точках функция обращается в ноль. Других корней эти уравнения не имеют. Поэтому максимума для всех точек K, L , äëÿ

которых исследуемая функция определена, у нее нет.

Одним из методов исследования функции нескольких переменных является определение линий уровня. Линией уровня функции Y F K, L называется множество всех точек x, y , â êîòî-

рых функция принимает постоянное значение В . Для мультипликативной производственной функции уравнение для линий уровня имеет вид:

В АK a1 La2 , ãäå В — постоянная величина.

68

 

 

 

 

 

I. Основные характеристики макроэкономики

Из этого соотношения можно найти формулу для связи капита-

ла и труда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K a1

В А

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(3.2)

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

Получили уравнение для степенной гиперболы.

Если, например,

a a

2

a 0,5 ,

òî

В АK 0,5L0,5 , èëè

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В2 А2 K L , èëè

В2

 

K L.

Отсюда следует, что линиями уровней

А2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будут равнобочные гиперболы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

В A 2

 

 

 

 

 

 

L

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.2. Показать, что функция Кобба—Дугласа (3.1) ÿâ-

ляется однородной первой степени.

f x, y называется од-

Р е ш е н и е. Напомним, что функция

нородной, если выполняется условие

f x, y f x, y . Äëÿ

функции Кобба—Дугласа

можно

записать

А K L 1

А K 1 L1 А K L1 . Отсюда видно, что функция Коб- ба—Дугласа является однородной первой степени.

Экономический смысл однородности производственной функции состоит в том, что при увеличении ресурсов в раз выпуск также увеличивается в раз.

3.4. Построение производственной функции

Построить производственную функцию для исследуемой экономики можно, используя статистические данные основных показателей этой экономики. Общий заданный период времени обозначим Т . Этот период состоит из Т элементарных периодов, номер которых будем обозначать t . Мультипликативная производственная функция для конкретной экономики для длины временно´го ряда Т определяется выпуском и затратами ресурсов для заданных моментов времени этого ряда t . Значения t изменяются от 1 до Т .

3. Макроэкономические производственные функции

69

Для рассматриваемого случая составляется Т уравнений вида [2]:

Yt t A Kta 1 Lat 2 ,

ãäå t — корректировочный случайный коэффициент, который отра-

жает флюктуацию результата под воздействием случайных факторов. Его математическое ожидание равно единице.

Прологарифмировав каждое из полученных уравнений, найдем ln Yt ln t ln A a1 ln Kt a2 ln Lt.

Здесь математическое ожидание случайной величины t ln t равно нулю. Получили модель линейной множественной регрессии. Показатели Kt è Lt за различные периоды t известны из статистической отчетности. Параметры A , a1 , a2 могут быть определе-

ны по методу наименьших квадратов. После проведения соответствующих вычислений получают параметры производственной функции конкретной экономики.

Âработе [3] этот метод был использован для расчета параметров производственной функции Российской Федерации с 1960 по 1991 г. При этом использовалась трехсекторная модель экономики. Эти секторы были названы нулевым сектором, первым сектором и вторым сектором.

Нулевой сектор — материальный сектор, или сектор производственных материальных затрат, куда относились предметы труда, а именно топливо, электроэнергия, сырье и другие материалы.

Первый сектор — фондосоздающий сектор, куда относились средства труда, а именно производственные здания, сооружения, машины, оборудование.

Второй сектор — потребительский сектор, куда относились предметы непроизводственного потребления.

Â[3] приведены следующие производственные функции Кобба— Дугласа для трех секторов (индексом обозначен номер сектора):

Y

6,19 K

0,46

L0,54,

 

0

0

0

 

 

 

0,68

0,32

 

(3.3)

Y1 1,35 K1

 

L1

,

 

 

 

 

 

 

Y

2, 71 K

0,49

L0,51.

 

2

 

2

2

 

 

Заметим, что для показателей степени выполняются соотношения

0 1,

0 2.

(3.4)