I Г 1C l( и и II

К )ЖД ЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ II ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

I ()ciювные типы преобразований и этапы их изучения.

( K ofienмости организации системы упражнений при изучении тождественных преобразований.

I. Основные типы преобразований и этапы их изучения

11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию уме­ний и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгеб­ры ¹ >то связано:

1. с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;

2. с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;

i ) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождествен­ного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:

,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;

7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;

Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;

⁽> класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.

11собходимо заметить, что у разных авторов учебников эта последова- К'Щ.иость имеет свои особенности.

Линия тождественных преобразований является одной из важных идей­ны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки про­стейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражне­нии на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в

29

скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также про­стейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.

Так в 5 классе изучаются законы и свойства действий над неотрицатель­ными числами: а + b = Ъ + а; (а + Ъ) + с = а + (Ь + с); а - Ь-Ъ ■ а; а + 0 = а;

О + а = а\ (а ■ Ь) • с = а ■ (Ь ■ с); а • 1 = а; 1 ■ а-а; а ■ (Ь + с) - ab + ас; а - 0 = а; а-а = О и др.

К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся:

1. обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучае­мых числовых множеств;

2. вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;

3. сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;

4. упрощение буквенных выражений;

5. доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д.

Примеры.

1. Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде раз­ности двух чисел, в виде произведения двух чисел.

2. Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.

Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных фор­мах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целе­направленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столби­ком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выпол­нения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений.

3. Найдите значение выражения 928 • 36 + 72 • 36.

Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложе­ния: 928 • 36 + 72 • 36 = (928 + 72) • 36 = 1000 • 36 = 36000.

В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освое­ния применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул.

1. этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная сис­тема преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.

Пример. Решить уравнения:

а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 — 4у) + 5у = 3 (1 — Зу).

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тожде-

30

« I пенное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х — 2.

Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измене­нном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье.

Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, уп­рощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий.

2. тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- IItilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн'сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» [6] ннп'шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством».

11риводятся примеры:

!) Цх I-у) и Зх + Зу- тождественно равные выражения;

2. 2х + у и 2ху не являются тождественно равными выражениями;

I )а Ь² = (а - Ъ){а + Ь)~ тождество;

I) \ 4х + 4 = (х - 2)² - тождество.

' I 'ождествами считают и верные числовые равенства: a + b = b +а;

(п ' Ь) + с~~а + (Ь + с); ab= ba; (ab) с = а (Ьс); а + 0 = а; а + (-а) = 0; и b~a -I- (-6); а-1+а; a-(-b) = -ab; (-а) ■ (-b) = ab и т.д.

В учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7» [14] приводится сразу и уточ­ненное понятие тождества: «Тождество - это равенство, верное при любых до­пустимых значениях входящих в его состав переменных».

11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений.

1. liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист¹ решение следующего упражнения: найти значение выражения

(</I />)—(а—6)_ _пр_и. _а)_{д =} з_>^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 —.

ab 9

11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4.

В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» [6] введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти зна­чение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху — xz = 2,3 • 0,8 — 2,3 • 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

31

Мп одика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z'+g)' здесь/и g- переменные, пробегающие множе-

I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­й-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

ав в .

iiioGom коммутативном кольце, и тождества —=-,а*0, справедливого в лю-

ас с

Оом поле.

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема­тическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

1. преобразования алгебраических выражений;

2. преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­им ми показателями;

3. преобразования тригонометрических выражений;

4. преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;

5. преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования.

33