Таким образом, для решения алгебраической задачи геометрическим ме- мдом необходимо:

1. построить геометрическую модель задачи: решающую или вспомога­тельную (геометрическая модель задачи называется решающей, если она позво­ляет получить ответ задачи без аналитических выкладок, в противном случае - ш 'помогателъной).

2. найти ответ задачи: если модель решающая, то ответ «снимаем» с чер­тежа, в случае вспомогательной геометрической модели надо:

а) составить числовое выражение или уравнение (систему уравнений), неравенство (систему неравенств), используя геометрические соотношения по­мученных фигур;

б) найти значение числового выражения или решения уравнения, нера­венства (системы уравнений или неравенств);

в) исследовать полученные решения: выяснить, удовлетворяют ли корни уравнения (системы уравнений), решения неравенства (системы неравенств) условию и требованию задачи, исчерпывают ли они все решения задачи и т.д.

Для обучения учащихся алгебраическому и геометрическому методам решения текстовых задач необходима специальная пропедевтическая работа. 'Гакая работа осуществляется в основном 5-6-х классах (в 1-4-х классах задачи решаются арифметическим способом). Различные приемы интеграции алгеб­раического и геометрического методов в процессе решения текстовых задач рассмотрим позже.

2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач

Выделяют два основных этапа пропедевтической работы. На первом эта- пе задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявле­нию зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучение переводу этих зависимостей на математический язык. Остановимся на каждом этапе подробнее.

I этап пропедевтики. Здесь необходимо сформировать у учащихся сле­дующие умения:

1. умение внимательно читать текст задачи;

2. умение проводить первичный анализ текста задачи - выделять условие и вопрос задачи;

3. умение оформлять краткую запись текста задачи;

4. умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

В методике обучения математике разработаны соответствующие приёмы работы учителя по формированию выделенных умений (З.П. Матушкина.).

1. Приемы, формирующие умение читать текст задачи.

- показ образцов правильного чтения задачи;

109

• проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению её со­держания: различные формы предъявления задачи: текстом, краткой записью текста, рисунком. Сюда включаются также приемы работы над усвоением со­держания задачи: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета зада­чи; изменение сюжета и числовых данных.

2. Приемы, формирующие умения выделять условие и вопрос задачи:

• выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи; обра­щение внимания на точность, ясность формулировки вопроса задачи; перефор­мулировка вопроса задачи. Этот прием направлен на воспитание у учащихся потребности выделять условие и вопрос задачи;

• формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;

• нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;

• составление задачи по вопросу.

2. Приемы обучения оформлению краткой записи текста задачи:

• оформление краткой записи в виде таблицы, схемы,

• оформление краткой записи в строку (столбец);

• чтение краткой записи задачи,

• составление задачи по её краткой записи.

2. Приемы обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи.

Основные из них следующие:

• предъявление заданий, требующих только выполнения рисунка;

• чтение рисунка, выполненного по тексту задачи,

• составление задачи по рисунку или чертежу.

К выполнению чертежей предъявляются требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть от­ражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепри-

нятым обозначениям.

Формирование умения выполнять чертёж будет успешным, если учащие­ся будут уметь читать соответствующий чертёж. В связи с этим очень важно научить составлять текст задачи по чертежу, рисунку. В результате выполнения таких упражнений формируются навыки перевода графических данных на ело-

весный текст.

II этап пропедевтики. Важным здесь является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменения величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений. Достигается это с помощью соответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в 5 классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения - увеличение числа в несколько раз. Здесь возможны упражнения:

1. Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну т лет? (4т.)

2. На первых двух полках стоит по п книг на каждой, а на третьей - т

книг. Сколько книг на трёх полках? (2п + т.)

3. Сравните а а с, если а = 5с. (а больше с в 5 р. или с меньше а в 5 р.).

4. Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в п раз. (х — пу. )

5. Составьте задачу по уравнению 2х = 28. (Например, в корзине было нес-

110

_M)j:ibKO грибов. После того как в неё добавили столько же, в ней стало 28 гри- _Гн)1з. Сколько грибов было в корзине?)

Аналогичные упражнения могут быть предложены учащимся при изуче­ний ДРУгах арифметических действий.

В методике обучения решению задач предлагаются также другие системы упражнений для достижения поставленной цели. Например, рассматриваются конкретные текстовые задачи и после прочтения их текстов учащимся предла- , _п^тся ответить на вопросы. Приведем примеры.

3 а д а ч а 1. Теплоход «Метеор» за час проходит расстояние в 5 раз р_ш1ыяее, чем катер. Сколько км в час проходит каждый из них, если сумма их ^к^ростей равна 90 км/ч?

Задания. 1) Назовите величины, которые связаны зависимостями: одна больше другой в 5 раз; б) одна меньше другой в 5 раз; 2) Если катер _пр(эходит х км/ч, то как можно истолковать выражения 5х; 5х + _х? Значение ка- _к()р величины известно по условию задачи?

Задача 2. На школьной математической олимпиаде было предложено X .;адач. За каждую решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую не­решенную задачу списывалось 3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, он получил 24 очка?

Задание. Установите, к решению каких из приведенных уравнений _сврдится решение предложенной задачи:

а)5х-3(8-х) = 24; в) 5(8-х)-Зх = 24; д)3у = 24;

б) 5х = 24; г) 5х - 3(8 + х) = 24; е) 5х + 3(8 __х) = 24.

Задания к задачам не требуют решения исходных задач. Первая группа

_Л11(дач направлена на формирование умения видеть всевозможные зависимости _мс*жду величинами, входящими в задачу; вторая группа формирует умение ви­деть в математическом выражении или формуле определенное содержание, т.е. ^тематическую модель.

Текстовые задачи в 5-6-х классах и методы их решения имеют важное ме­тодическое значение. Прочное усвоение методов решения «чисто арифметиче- _ских» задач позволяет подготовить учащихся к осознанному решению задач ал­гебраическим и геометрическим методами.

Программа по математике средней школы предусматривает в 5-6-х клас- _сах решение (наряду с известными типами задач) основных задач на проценты, _иС1 дроби и на составление пропорций.

В 5 классе по учебнику Н. Я. Виленкина и др. изучаются 3 основные зада- .„jt НЯ проценты: а) нахождение процентов числа; б) нахождение числа по дан- -_шу числу его процентов и в) нахождение процентного отношения двух чисел, однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он имеет преимущества:

1. проще для выполнения вычислений;

2. приучает учащихся выделять число, принимаемое за 100%;

3. не требует запоминания правил решения того или иного вида задач на ,, роценты, а основан на рассуждениях.

111