- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
Лекция
VII
ОБЩАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ
Цели
и задачи курса геометрии основной
школы.
Содержание
обучения геометрии в 7-9-х классах.
Логические
основы изложения геометрии в 7-9-х
классах.
Прежде
чем говорить о школьном курсе геометрии,
остановимся кратко на характеристике
геометрии как науки и основных этапах
её развития. В различных энциклопедиях
понятие «геометрия» (греч. geometria,
от
ge
-
Земля и metreo
-
мерю) трактуется как «раздел математики,
изучающий пространственные отношения
и формы, а также другие отношения и
формы, сходные с пространственными по
своей структуре» (см., например,
«Математическую энциклопедию», с.
940-941).
Историческая
справка
Возникновение
геометрии относится к глубокой древности
и обусловлено практическими
потребностями измерения земельных
участков, объемов и др. Отсюда и греческое
название «геометрия», что означает
«землемерие».
В
развитии геометрии выделяют четыре
основных периода.
Первый
период,
зарождения геометрии как математической
науки - протекал в Древнем Египте,
Вавилоне и Греции примерно до V в. до н.
э. Геометрические сведения того периода
были немногочисленны и сводились,
прежде всего, к вычислению некоторых
площадей и объемов. Геометрия, по
свидетельству греческих историков,
была перенесена в Грецию из Египта
в VII в. до н. э. Здесь на протяжении
нескольких поколений она складывалась
в стройную систему. Процесс этот
происходил путем накопления новых
геометрических знаний, выяснения связей
между разными геометрическими фактами,
выработки приёмов доказательств и
формирования понятий о фигуре,
геометрическом предложении и о
доказательстве.
Этот
процесс привёл к качественному скачку.
Строгое построение геометрии как
системы предложений (теорем),
последовательно выводимых из
немногочисленных определений,
основных понятий и истин, принимаемых
без доказательства (аксиом) было дано
в Древней Греции Евклидом в его труде
«Начала» (около П1 в. до н. э.).
Итак,
к III в, до н. э. геометрия Превратилась
в самостоятельную математическую
науку: появились систематические
изложения геометрии, где её предложения
последовательно доказывались. С
этого времени начинается второй
период
развития геометрии. Здесь геометрия
представлена так, как её в основном
понимают и теперь, если ограничиться
элементарной геометрией: это наука о
простейших пространственных формах и
отношениях, развиваемая в логической
последовательности, исходя из явно
формулиро-
1511. Цели и задачи курса геометрии основной школы
ванных
основных положений - аксиом и основных
пространственных представлений. Ещё
в Греции к ней добавляются новые
результаты, возникают новые методы
определения площадей и объемов, учение
о конических сечениях, присоединяются
начатки тригонометрии и геометрии
на сфере.
Начало
новой эры было временем упадка греческой
цивилизации, а вместе с ней и геометрии.
Возрождение наук и искусств в Европе
в XVII в. стимулировало развитие геометрии:
теоретической основой построения
изображений явилась проективная
геометрия (Ж.
Дезарг, Б. Паскаль). Она возникла из
задач изображения тел на плоскости.
Учение о геометрическом изображении
было развито и проведено Г. Монжем
(Франция) в виде начертательной
геометрии.
Новый
шаг был сделан в первой половине XVII в,
(1637 г.) Р, Декартом, который ввёл в
геометрию метод координат. Метод
координат позволил связать геометрию
с раз- вивавшейся тогда алгеброй и
зарождающимся анализом. Применение
методов этих наук в геометрии породило
аналитическую
геометрию,
а потом и дифференциальную.
Геометрия
перешла на качественно новую ступень
по сравнению с геометрией древних: в
ней рассматриваются уже гораздо
более общие фигуры и используются
существенно новые методы. С этого
времени начинается третий
период
развития геометрии. Аналитическая
геометрия изучает фигуры и
преобразования, задаваемые алгебраическими
уравнениями в прямоугольных координатах,
используя при этом методы алгебры.
Дифференциальная
геометрия, возникшая в XVIII в, в результате
работ JI.
Эйлера,
геометрия Г. Монжа и др. исследуют уже
любые достаточно гладкие кривые линии
и поверхности, их семейства и
преобразования.
Во
всех этих дисциплинах основы геометрии
оставались неизменными, круг же изучаемых
фигур и их свойств, а также применяемых
методов расширялся.
Четвертый
период
в развитии геометрии открывается
построением в 1826 г. Н. И. Лобачевским
неевклидовой
геометрии,
отличающейся от евклидовой аксиомой
(постулатом) о параллельных прямых
и называемой теперь геометрией
Лобачевского.
В
середине XIX в. были рассмотрены многомерные
пространства (К. Якоби,
Г.
Грассман). Принципиальный шаг был сделан
немецким математиком Б. Риманом.
Развилась обширная область геометрии,
так называемая риманова
геометрия
и
её обобщения, нашедшая важные приложения
в теории относительности, в механике
и др. В тот же период зародилась топология
как учение о тех свойствах фигур, которые
зависят лишь от взаимного проникновения
их частей и которые сохраняются при
любых преобразованиях.
Таким
образом, предмет геометрии изменялся
в процессе исторического развития, а
вместе с ним изменялось и содержание
геометрического метода. Постепенно
геометрия превратилась в разветвлённую
и быстро развивающуюся в разных
направлениях совокупность математических
теорий, изучающих разные пространства
и фигуры в этих пространствах.
Выделяя
существенные свойства геометрического
метода, А. Д. Александров писал: «Для
геометрии характерен такой подход к
объекту, который состоит в обобщении
и перенесении на новые объекты обычных
геометрических понятий и наглядных
представлений» [1, с. 309]. И далее: «...
геометрия характеризуется не только
своим предметом, но и методом, идущим
от наглядных представлений и оказывающимся
плодотворным в решении многих проблем
других областей математики» [там же,
с. 313].
Особенности
геометрии как науки и задачи школьного
курса геометрии академик А. Д. Александров
сформулировал в своей статье «О
геометрии» (см. «Математика в школе»,
1980, № 3). Он писал: «Особенность геометрии,
выделяющая её не только среди остальных
частей математики, но и среди других
наук вообще, состоит в том, что в ней
самая строгая логика соединена с
наглядным представлением. Геометрия
в своей сущности и есть такое со
152
единение
живого воображения и строгой логики,
в котором они взаимно ор-
ганизуют
и направляют друг друга».
Продолжая
эту мысль, он отмечал, что живое
воображение ближе к ис-
кусству,
сухая строгая логика - привилегия науки
- это две совершенные
противоположности.
Однако геометрия их все же соединяет,
и задачи препо-
давания - соединить
их в одном учебном предмете. Это есть
единство проти-
воположностей,
противоречие в самой сущности предмета.
Это противоречие
составляет особую
трудность, а вместе с этим и особую
прелесть геометрии.
В
курсе геометрии соединяются еще две
противоположности: абст-
рактная
математическая геометрия и реальная
геометрия ~ реальные про-
странственные
отношения и свойства тел. Это противоречие
выступает уже в
тот момент, когда на
доске «проводят прямую» и говорят:
«Проведем пря-
мую через точки А
и В
», - но на доске нет точек и невозможно
провести пря-
мую: геометрические
точки и прямые - это идеальные объекты,
они не суще-
ствуют иначе как в
абстрактном мышлении, их, строго говоря,
нельзя даже
представить, а можно
только мыслить.
Утверждения
геометрии высказываются и доказываются
для идеальных
геометрических
объектов, но воспринимаются как
утверждения об объектах,
наглядно
представимых, и применяются к реальным
вещам.
При
всей своей абстрактности геометрия
возникла из практики и приме-
няется
в практике. Поэтому преподавание
геометрии обязательно должно свя-
зывать
её с реальными вещами, с другими
дисциплинами, особенно с физикой.
При
этом связь геометрии с реальностью
заключает противоречие - не-
соответствие
реальных вещей геометрическим
абстракциям.
Таким
образом, преподавание геометрии должно
включать три тесно
связанных, но
вместе с тем и противоположных элемента:
логику,
наглядное
представление,
применение
к реальным вещам
(рис.
51).
Задача
преподавания геометрии
-
развить у учащихся соответствую-
щие
три качества: пространственное
воображение, практическое понимание
и
логическое мышление.
При
этом решаются следующие задачи: Логика
приобретение
систематических сведений
об основных
фигурах на плоскости и их важней-
ших
свойствах;
формирование
представления о равенстве
и подобии
фигур, основных типах геометрических
преобразований
и их применении в геометрии; Воображение
Реальность
формирование
навыков геометрических
построений,
измерение и вычисление длин, углов Рис.
51
и
площадей;
ознакомление
с применением аналитического аппарата
для решения геометрических задач
(алгебраическими преобразованиями и
уравнениями, элементами тригонометрии,
аналитической геометрии и векторной
алгебры).
В
программе по математике перечислены
умения, которые должны быть результатом
решения этих задач:
153