Таким образом, формирование математических понятий в условиях единства алгебраического и геометрического методов сводится к следующим действиям:

1. одновременная трактовка понятия на геометрическом и алгебраиче­ском (буквенно-символическом) языках;

2. распознавание объектов, принадлежащих понятию и представленных как в алгебраической, так и геометрической формах;

3. выведение следствий из факта принадлежности объекта данному поня­тию, в случае, если этот объект представлен в геометрической и алгебраиче­ской формах;

4. решение задач и упражнений на применение данного понятия парал­лельно алгебраическим и геометрическим методами или методом, включаю­щим в себя действия, связанные с геометрическим образом данного понятия и его алгебраической трактовкой вместе.

В целом взаимосвязь алгебраического и геометрического методов позво­ляет формировать понятия в единстве алгебраических и геометрических дейст­вий, адекватных этому виду знаний, создавая тем самым у учащихся целостное представление о каждом изучаемом понятии.

3. Методика изучения правильных многоугольников

Учащиеся уже знакомы с некоторыми правильными многоугольниками, поэтому введение понятия правильного многоугольника должно основываться на имеющемся у них опыте.

Сначала внимание учащихся акцентируется на равностороннем треуголь­нике, квадрате, подчеркивается, что указанные фигуры отличает то, что они вы­пуклые, имеют равные стороны и равные углы. Равенство сторон треугольников обусловливает равенство его углов, однако для четырехугольника такая связь не имеет места. Фигурами, иллюстрирующими это утверждение, являются ромб и прямоугольник. Затем сообщается, что выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным.

Определение правильного многоугольника построено по способу «через ближайший род и видовые отличия». Родовым понятием является понятие выпук­лого многоугольника, видовые отличия - равенство сторон и равенство углов. Формирование понятия правильного многоугольника предполагает усвоение его существенных свойств, а для этого используются упражнения на распознавание правильных многоугольников. Можно использовать задачи, в которых распозна­вание правильных многоугольников осуществляется с использованием непосред­ственных измерений их углов и сторон, а также упражнения типа:

1. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?

2. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) существует пра­вильный четырехугольник, являющийся параллелограммом; в) треугольник яв­ляется правильным, если все его углы равны?

214

3. Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?

В процессе изучения возникает вопрос: нельзя ли указать способ по­строения с помощью циркуля и линейки некоторых правильных многоугольни­ков? Ответить на этот вопрос помогут свойства правильных многоугольников: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, в лю­бой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Учащимся известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равно­удалена от всех его вершин. Поэтому все вершины квадрата будут лежать на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей и радиуса, равного иоловине диагонали. Поскольку точка пересечения диагоналей квадрата равно­удалена от всех его сторон, то середины всех его сторон лежат на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей радиуса равного половине сторо­ны этого квадрата.

Указанные свойства квадрата обусловливают вопросы: 1) можно ли опи­сать окружность около любого правильного многоугольника; 2) можно ли вписать окружность в любой правильный многоугольник?

Для ответа на эти вопросы необходимо выяснить существование точки, равноудаленной от всех вершин правильного многоугольника, и точки, равно­удаленной от всех сторон правильного многоугольника.

Выясним, существует ли точка, равноудаленная от всех вершин правиль­ного многоугольника. Предположив, что некоторая точка обладает этим свой­ством, получим, что она является точкой пересечения биссектрис его углов. Чтобы окончательно решить поставленную проблему, надо доказать, что бис­сектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке.

Таким образом, открыта самими учащимися не только теорема, но и способ её доказательства. Следует обратить внимание учащихся на связь между радиусом описанной (вписанной) окружности, стороной правильного многоугольника и чис­лом его сторон. Полученные формулы обычно конкретизируются для правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Связь между стороной пра­вильного шестиугольника и радиусом описанной около него окружности (а₆ = К) прямо указывает на способ построения правильного шестиугольника. Построив правильный шестиугольник, легко построить правильный двенадцатиугольник. Указанный способ позволяет с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник, можно построить правильный восьмиугольник, за­тем правильный шестнадцатиугольник и, вообще, правильный 2^к-угольник, где к- любое число, большее двух.

Следует иметь в виду, что не все правильные многоугольники можно по­строить с помощью циркуля и линейки. Например, нельзя построить с помо­щью циркуля и линейки правильный семиугольник, однако можно построить правильный семнадцатиугольник. Теория построения правильных многоуголь­ников может быть предметом кружковых занятий с учащимися.

215

Вопросы и задания

1. Какие существуют методические подходы к изучению многоугольни­ков в школьном курсе геометрии?

2. Как вводится понятие многоугольника в учебниках по геометрии раз­ных авторов?

3. Какой многоугольник называется выпуклым? Дайте разные определе­ния этого понятия. Приведите примеры и контрпримеры.

4. Опишите методику введения понятия четырехугольника, опираясь на один из учебников геометрии.

5. Как происходит изучение частных видов четырехугольника: параллело­грамма и трапеции?

6. Опишите методику формирования понятия трапеции (параллелограм­ма) в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов.

7. Как вводится понятие правильного многоугольника, и какие свойства правильных многоугольников изучаются в школьном курсе геометрии?

8. Охарактеризуйте особенности изучения темы «Многоугольники» по учебникам геометрии В. А. Гусева и И.Ф. Шарыгина.

Рекомендуемая литература

1. Александров, А. Д. Что такое многогранник / А. Д. Александров // Математика в школе. - 1981. - № 1. - С.

2. Г о т м а н, Э. Г., С к о п е ц 3. А. Задача одна - решения разные: Геометр, задачи: Кн. для учащихся / Э. Г. Готман, 3. А. Скопец. - М.: Просвещение, 2000. - 224 с.

3. И з а а к, Д. Ф. Поиски решения геометрической задачи / Изаак Д.Ф. // Математика в шко­ле. -1998.- №6.- С. 30-34.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А Я. Блох, В А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. М и ш и н. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

5. С а р а н ц е в, Г. И. Методика преподавания геометрии в девятилетней школе: Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. ин-тов / Г.И. Саранцев. - Саранск: Мор- дов. гос. пед. ин-т, 1992. - 130 с.

6. Ш а р ы г и н, И. Ф. Учимся решать задачи по геометрии / И. Ф. Шарыгин // Математика в школе. - 1989. ~ № 2. (3) - С. 87 - 101 (95 - 103).

7. Школьный учебники по геометрии разных авторов.

216

JI v к’ция XII MI /ГОДИКА ИЗУЧЕНИЯ

iii:k торов НА плоскости

I 1’;пличпые подходы к введению понятия вектора.

V Методика изучения равенства векторов.

*. Методика изучения действий с векторами.

I Методика обучения решению задач с помощью векторов.

1. Различные подходы к введению понятия вектора

Ментор - одно из фундаментальных понятий современной математики, ими широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя,

Ш Аргпна и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь ме­жду арифметическими операциями над комплексными числами и геометриче­скими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Га- ^мичмшт, I 1 рассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое примене- иир при iпучении свойств трёхмерного и многомерного пространств.

И настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, itin in I и четкая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ и др.

И математике под вектором понимают элемент векторного пространств At! Ilf игорное пространство трактуется как множество объектов, на котором Ничи'ны операции сложения объектов и умножения объекта на действительное чж ми I и к. что выполняются известные вам аксиомы:

!) ппутрепний закон композиции: для любых элементов а, b , принадле­жи и i и ч множеству V, существует единственный элемент (а + Ъ\ принадлежа- М1нИ мможчттиу Г;

.*) in кон ассоциативности: а + (Ь + с) = (а+ 6) +с, для любых элементов и /». « . принадлежащих множеству V;

I) in к он коммутативности: а + b = b + а, для любых элементов а, Ъ , при- н«м и’лшпич множеству V;

•И чип любых элементов

а, Ь, принадлежащих множеству V, существует f чьмН иц'мпп г , принадлежащий множеству Г, что а + х = Ь\

инечиимй чакон композиции: для любого элемента а, принадлежащего МНМФ1М I и\ I ‘ и для любого элемента а, принадлежащего множеству R, н им¹* imwi нюмент аа, принадлежащий множеству V.

217