тора в виде: а) суммы нескольких векторов; б) произведения вектора на число. Эти умения важны при решении задач.

Рассмотрим основные направления методики изучения скалярного про­изведения векторов.

Обычно это понятие вводится как произведение длины этих векторов на ко­синус угла между ними (учебник JL С. Атанасяна и др.). При таком (традицион­ном) подходе значительную трудность представляет доказательство распредели­тельного свойства скалярного умножения векторов. Оно очень громоздко.

В учебнике А. В. Погорелова скалярное произведение векторов изучается в 8 классе и определяется как сумма произведений их соответствующих координат (т. е. число):

а • b - а\Ъ\ + а₂Ь₂₉ где (а\; а₂) - координаты вектора а и (Ь\\ Ь₂) - координаты вектора b .

Из определения следует, что для любых векторов а (а\; а₂), Ъ (Ьй Ь₂\ c(ci;c₂)

(а + Ь)с = а с + b с.

При этом в учебнике доказывается теорема:

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

В процессе доказательства этой теоремы выясняется геометрический смысл скалярного произведения:

а -Ъ =1(\а + Ь\²-\а\²-\ Ь |²).

Геометрически это равенство означает, что скалярное произведение а ■ Ъ равно полуразности между площадью квадрата, построенного на стороне | а + b | и площадями квадратов, построенных на векторах а и Ъ , Если alb, то а • b = 0, верно также и обратное, если а • b = 0, то а 1 Ъ .

В учебнике JL С. Атанасяна и др. скалярное произведение изучается в 9-м классе после изучения тригонометрических функций, поэтому, как уже от­мечалось, здесь принят традиционный подход к его определению.

4. Методика обучения решению задач с помощью векторов

Векторный метод решения задач является новым для учащихся, поэтому необходимо:

1. заинтересовать их, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

2. обучать учащихся некоторым эвристикам (системе определенных пра­вил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогут создать у них навык в его применении;

3. обучать этому методу на достаточно простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.

Следует заметить, что векторный метод не является универсальным, к

228

Я* 1 ||/||	Что требуется доказать (на геометрическом языке)	Что достаточно доказать (на векторном языке)
1.	Прямые а и b параллельны, а\1Ъ	АВ = k CD, где к - число, отрезки АВ и CD при­надлежат соответственно прямым а и Ъ.
'	Точки А, В и С принадлежат прямой а.	а) Установить справедливость одного из равенств: АВ = кВС или АС = к АВ . б) доказать равенство QC =pQA + q QB , где р + q ~ 1 и Q - произвольная точка плоскости.
1.	Точка С принадлежит отрез­ку АВ, где АС : АВ = т:п (деление отрезка в данном отношении).	АС = — СВ или QC = —-— QA + ——— QB п т+п т+п для некоторой точки Q.
1 1	Прямая а перпендикулярна прямой Ъ (a JL6).	АВ • CD = 0, где А, В принадлежат прямой а, а С, D - прямой Ь.
V	Вычислить длину отрезка.	а) Выбрать два неколлинеарных базисных вектора, у которых известны длины и угол между ними; б) разложить по ним вектор, длина которого вычис­ляется; в) найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу а 2 = | а 2| .
(),	Вычислить величину угла.	а) Выбрать два неколлинеарных базисных вектора, для которых известны отношение длин и угол между ними; б) выбрать векторы а и Ь, задающие искомый угол, и разложить их по базисным векторам; в) вычислить cos Z(a, 0 ) = ргтч • гг
/.	А/ середина АВ.	а) МА = -MB б) ОМ = }^ОД + ш),где О- произвольная точка плоскости.
к.	М - точка пересечения меди­ан треугольника А ВС. И т.д..	ОМ - ^ (ОА + ОВ + ОС), где О - любая точка плоскости.

Цели изучения векторного метода в школе:

1) дать эффективный метод решения различных геометрических задач и дока- ик\п>етва теорем;

229

2. показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике и т.д. - на базе этого формировать у учащихся научное мировоззрение;

3. формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (не- шаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Использовать векторный метод в конкретных ситуациях достаточно сложно. Поэтому, прежде всего, необходимо овладеть действиями, составляющими это уме- ние. Анализ решений различных задач приводит к выводу о том, что надо уметь:

1. переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот;

2. выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векто- ров, произведение вектора на число);

3. представлять вектор в виде суммы, разности векторов;

4. представлять вектор в виде произведения вектора на число;

5. преобразовывать векторные соотношения;

6. переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;

7. выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

8. выражать величину угла между векторами через его скалярное произ- ведение.

Приведем пример задачи, при решении которой используются выделен- ные умения.

Задача. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям Решение задачи будем осуществлять по этапам.

1. этап (перевод задачи на векторный язык).

ABCD - трапеция, AD и ВС - её основания, MN - средняя линия (рис. 82).

AM=MBkCN =JVD.

Чтобы доказать параллельность средней линии основаниям, надо дока- зать коллинеарность векторов MN и AD или векторов MN и ВС.

2. этап (решение задачи на век- торном языке).

1. Из четырехугольника MBCN

MN = MB + ВС + CN (1)

2. Из четырехугольника AMND имеем:

~MN = МЛ + ~AD + DN (2)

3. Сложим равенства (1) и (2):

2MN =-(AD + ВС) + (МВ + MA) + (CN +m)^jD + BC.

Следовательно, MN - .

4. Так как векторы АПя ВС сонаправлены, то AD = к 'ВС.

имеем: