Задача. Квадрат периметра прямоугольника, основание которого больше высоты на 1 см, больше площади этого прямоугольника на 34 см.. Найти высоту прямоугольника.

В ходе решения учащиеся приходят к выводу, что площадь прямо­угольника равна х (х + 1) см², а периметр равен (4х + 2) см, тогда квадрат пе­риметра равен (4х + 2)² см². Так как по условию задачи квадрат периметра прямоугольника больше площади прямоугольника на 34 см², то можно соста­вить уравнение:

х (х + 1) + 34 = (4х + 2)² После преобразований получаем следующее квадратное уравнение:

х + х — 2 = 0.

Корнями полученного уравнения являются х\ - 1 и х₂ = -2. Так как дли- на отрезка не может быть отрицательным числом, то искомая высота равна 1 см. Вместе с этим каждое из выражений уравнения х (х + 1) + 34 = (4х + 2)² или х² + х н~ 34 = 16х² + 16х + 4 можно рассматривать как функцию у~х² + х + 34яу = 16х² + 16х - 30. Для каждой из них можно построить график. Если графики построить в одной системе координат, то они пересекутся. Абсциссы точек пересечения х\ = 1 и х₂ = -2 дают то значение аргумента, при котором рассматриваемые функции равны (у(1) = 36 и у(-2) = 36). Но так как нам надо найти высоту прямоуголь­ника, а длина отрезка отрицательной быть не может, то искомая высота прини­мает значение х = 1.

Можно рассмотреть другие задачи, подобные данной, решение которых приводит к квадратным уравнениям. Таким образом, учащиеся приходят к выводу, что квадратные уравнения, как и уравнения первой степени с одной переменной, тоже могут решаться геометрическим (графическим) методом.

Приведем примеры параллельного решения квадратных уравнений и неравенств алгебраическим и графическим методами.

ПримерЗ, Решить квадратное уравнение х² - 4х + 3 = 0 и соответст­вующие ему неравенства: х² - 4х + 3 > 0 и х² - 4х + 3 < 0.

Решение./. Алгебраический метод

х² - 4х + 3 = 0, по общей формуле корней квадратного уравнения имеем:

4 ± Jl6 -12 4 ± 2

х\2~ — = ;

2 2

откудаxi = 3,х₂ = 1. О т в е т: Xi = 3, х₂ = 1.

Il Графический метод (I способ)

Построим график функции у = х²- 4х + 3. Построение будем проводить по следующей схеме:

1. Найдем координаты вершины параболы и уравнение оси параболы.

Имеем а = 1, Ь - -4, тогда х₀ = = 2; у₀ = {(2) = 2²- 4*2 + 3 = -

2. а 2

1.Значит, вершиной параболы является точка (2; -1), а осью параболы - пря­мая х = 2.

2. Возьмем какую-нибудь точку, принадлежащую параболе, например,

74

(0; 3) и построим ей симметричную относительно оси параболы, получим точку (4; 3).

3. Через полученные три точки (2; -1), (0; 3), (4; 3) проводим параболу (рис. 6). Корнями уравнения х² - 4х + 3 = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ. Таких точек две: (1; 0) и (3; 0).

Итак, х\ = 1,Х2= 3.

Решив графическим методом уравнение,

решаем сразу же соответствующие ему не- равенства: х² - 4х + 3 > 0 и х - 4х + 3 < 0, используя построенный график. Решить данные неравенства графически - это зна- чит ответить на вопрос, при каких значе-

ниях х ординаты точек параболы положительны (для первого неравенства) и отрицательны (для второго неравенства). Из рисунка 6 видим, что график функции расположен выше оси ОХ при х < 1 и при х > 3.

Значит, решениями неравенства х² - 4х + 3 > 0 служат все точки, при­надлежащие промежуткам х < 1 и х > 3.

Аналогично, для неравенства х² - 4х + 3 < 0 замечаем, что график функ­ции расположен ниже оси ОХ при 1 < х < 3. Этот промежуток и является ре­шением неравенства.

Для проверки полученных ответов решаем неравенства х² - 4х + 3 > 0 и х² - 4х + 3 < 0 аналитически, с помощью системы неравенств или методом интервалов (после его изучения).

После решения двух (трех) аналогичных уравнений и соответствующих им неравенств учащиеся могут сделать выводы по геометрической интерпре­тации их решений, а именно:

1. Если квадратное уравнение ах + Ьх + с = 0 имеет два корня, то геометрически это означает, что парабола - график функции у = ах² + Ьх + с- пересекает ось ОХ в двух точках, абсциссы которых и являются корнями данного уравнения. Верно и обратное:

если парабола - график функции у = ах² + Ьх + с- пересекает ось ОХ в двух точках, то квадратное уравнение ах² + Ьх + с = 0 имеет два кор­няу которыми являются абсциссы точек пересечения.

2. Если квадратное неравенство ах + Ьх + с> 0 (ах² + Ьх + с < 0) имеет решения (но выполняется не при всех значениях х), то гео­метрически это означает, что часть параболы - графика функции у = ах + Ьх+ с-расположена выше (ниже) оси ОХ. Верно и обратное: если часть параболы - графика функции у = ах + Ьх + с - располо­жена выше (ниже) оси ОХ, то это означает, что квадратное нера­венство ах² + Ьх + с> 0 (ах² + Ьх + с<0) имеет решения.

Следует заметить, что графический метод решения квадратных уравне­ний'и неравенств включает, кроме рассмотренного, ещё четыре способа ре­шения. Приведем их схемы.

75

2. способ. Преобразуем уравнение к виду х ~ 4х - 3, затем построим в одной системе координат графики функций >> = х² и у - 4х - 3. Корнями урав- нения служат абсциссы точек пересечения параболы и прямой - графиков этих функций.

3. способ. Преобразуем уравнение к виду х² + 3 = 4х, затем построим в одной системе координат графики функций^ = х² + 3 и у = 4х. Корнями урав- нения являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой - графиков этих функций.

4. способ. Преобразуем уравнение к виду х²-4х + 4-1=0и далее х² - 4х + 4 = 1, т.е. (х - 2)² = 1. Построим в одной системе координат параболу у = (х- 2)² и прямую у = 1. Корнями уравнения служат абсциссы точек пере- сечения графиков этих функций.

5. способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

4 4

х-4 + - = 0 и далее х - 4 = — . Построим в одной системе координат ги-

я *

4

перболу у = — и прямую у = х- 4. Корнями уравнения являются абсциссы

х

точек пересечения графиков данных функций.

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4х² - 4х + 1 = 0 и соответ- ствующие ему неравенства: 4х² - 4х + 1 > 0 и 4х² - 4х + 1 < 0.

Решение./. Алгебраический метод

4х² - 4х + 1 = 0, по формуле корней квадратного уравнения имеем:

_ 4 + д/4² - 4*4 4 ± 0 1

Х\2~ = — —. .

2-4 8 2 •'

^ ¹ Ответ: х= —.

2

//. Графический метод (I способ)

Построим график функции^ = 4х² - 4х + 1. Найдем сначала координаты вершины параболы. а = 4, й = - 4, х₀ = ~ Уо⁼ f(^)⁼ 0.

Значит, вершиной параболы является точка (^; 0), а осью параболы

прямая х = ^. Также как и в примере 3, выполняем построение графика (рис, 7).

Как видим из рисунка, парабола имеет с

осью ОХ только одну общую точку (~; 0). Значит,

данное квадратное уравнение имеет только один

1

корень: х = -.

Построенный график позволяет сразу же

решить и квадратные неравенства: 4х² - 4х + 1 >0 и 4х² - 4х + 1 < 0.

Из рисунка видно, что вся парабола, кроме

Рис. 7 одной её точки, которая лежит на оси ОХ, распо-