6. закон ассоциативности для умножения: (а/3)а = а{/3а), где а,р~ дей­ствительные числа;

7. для любого элемента а, принадлежащего множеству V, справедливо равенство 1а = а;

8. закон дистрибутивности: а(а + Ь) - аа + ab и (а + /?)а = аа + [За _%

Как вы видите сами, таким образом понятие вектора не может быть

введено в школьном курсе геометрии. Тем более, если учесть, что понятие век­тора вводится в основной школе.

Рассмотрим (кратко) различные интерпретации векторного пространства, ко­торые используют разные авторы при изложении школьного курса геометрии.

1. Множество направленных отрезков плоскости.

Сложение определяется следующим образом. Пусть а и Ъ - два направ­ленных отрезка. Отметим произвольную точку А плоскости и отложим от нее направленный отрезок АВ, равный а. Затем от точки В отложим направлен­ный отрезок ВС, равный b. Направленный отрезок АС называется суммой

направленных отрезков а и b . Введенное таким образом сложение направлен­ных отрезков удовлетворяет аксиомам сложения.

Произведением ненулевого направленного отрезка а на число к называ­ется такой направленный отрезок Ь, длина которого равна | к | • | а |, причем от­резки а и b сонаправлены, если к >0 и противоположно направлены, если к < 0. Произведением нулевого направленного отрезка на любое число считается нулевой направленный отрезок. Под нулевым направленным отрезком пони­мают направленный отрезок, начало и конец которого совпадают (точку). При этом выполняются аксиомы умножения.

Таким образом, множество направленных отрезков плоскости является векторным пространством. В этом случае вектор отождествляется с направ­ленным отрезком.

Такая трактовка вектора используется в учебниках А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др.

2. Множество классов направленных отрезков плоскости.

Объектами этого множества являются не отдельные направленные отрез­ки, а классы, состоящие из сонаправленных отрезков, имеющих равные длины. В качестве «нулевого» объекта выступает множество точек плоскости. Опера­ции сложения этих объектов и умножения на действительное число сводятся к соответствующим операциям с представителями классов, поэтому они удовле­творяют аксиомам векторного пространства.

Таким образом, множество классов, каждый из которых состоит из сона­правленных отрезков равной длины, является интерпретацией векторного про­странства. Здесь векторы - это классы сонаправленных отрезков равной длины.

Этот подход реализован в пробном учебнике геометрии для 6-8 классов В. Г. Болтянского, М. Б. Воловича и А. Д. Семушина (М., 1979).

218

3. Множество параллельных переносов плоскости.

Под суммой параллельных переносов Т\ и Т₂ понимается их композиция. 11ро и з ведением параллельного переноса Т на число m называется параллельный игре нос тТ_у расстояние которого равно произведению расстояния, на которое осуществляется параллельный перенос Г, и модуля числа m, а направление сов- iMi'iaer с направлением параллельного переноса Г, если m > 0 и противополож­но ему, если m < 0.

Можно доказать, что введенные таким образом сложение параллельных переносов и умножение параллельного переноса на число удовлетворяет ак­сиомам сложения и умножения, поэтому множество параллельных переносов

• г кости является интерпретацией векторного пространства. Отсюда можно

■ мождествить понятие вектора и понятие параллельного переноса.

Такая трактовка вектора использовалась в ранее действующем учебном могоОии А. Н. Колмогорова и др.

4. Множество упорядоченных пар действительных чисел.

()пределим сложение пар и умножение пары на число следующим образом.

i уммой пар а = (а_ь а₂) и b - (b_h b₂) назовем пару a + b = (а_{ + b_h а₂ + Ь₂\ а про-

и тепением пары а = (a_h а₂) на число т - пару та = (таи та?). При этом все ми'мпмм векторного пространства вьшолняются. Значит, множество упорядочен­ный пир действительных чисел есть векторное пространство.

(>1 метим достоинства и недостатки рассмотренных подходов к введению по­ни (им мектора.

JJ(к'тоинства трактовки вектоуа как направленного отрезка:

I) Трактовка вектора как направленного отрезка придает этим объектам и ммррмциим над ними хорошую наглядность. Это очень важно, так как в процессе форм пронация понятия большую роль играет образный компонент, поэтому жела- •*'и.нм шкпе определения, которые позволяют воображению легко конструировать ttftptMM определяемых объектов. Такой вывод согласуется с результатами психоло- н«чегм1х исследований.

.’) Трактовка вектора как направленного отрезка обычно используется в фи­ши* Гик им образом, она способствует осуществлению межпредметных связей.

I wmvim отметить и то, что в решении геометрических задач вектор используется »tt* инирлнж'нный отрезок.

/ let >( и 'татки трактовки вектора как направленного отрезка:

I) Г с⁴ реализация связана с громоздкостью доказательства свойств сложения юмором и умножения вектора на число. Так, доказательство переместительного тоИ» I ни еножения векторов предполагает рассмотрение двух случаев:

а) поморм ч и h коллинеарны; б) векторы а и Ъ неколлинеарны. Доказательст­во » нойе I на: для любых k, I и вектора а (Ы)а = к(1а) требует рассмотрение че-

• ыр*»ч счучисн.

Кроме того, реализация трактовки вектора как направленного отрезка от- мчй#нц непоследовательностью. При этой трактовке векторы считаются рав­ными, in они имеют одинаковую длину и направление. Такое определение

219

нельзя считать математически корректным, так как «равные векторы» - это по существу «один и тот же вектор» (аналогично тому, как «равные числа» - по су­ществу «одно и то же число»), тогда как направленные отрезки АВ и CD - это различные отрезки, а не один и тот же отрезок. Тем самым, приняв это определе­ние вектора, мы отождествляем два различных (хотя и родственных) математи­ческих понятия: понятие равенства и понятие эквивалентности.

Равенство двух математических объектов есть их совпадение; эквивалент­ность же объектов означает любое отношение, обладающее свойствами рефлек­сивности, симметричности и транзитивности.

Непоследовательность такой трактовки вектора проявляется при доказа­тельстве теорем или решении задач. Например, доказательство того, что сумма векторов зависит от выбора «начальной» точки предполагает не различать рав­ные векторы, то есть понимать под вектором множество сонаправленных отрез­ков равной длины, хотя вектор определен как направленный отрезок.

Конечно, эту непоследовательность легко можно исключить, если с само­го начала вектор определить как множество сонаправленных отрезков равной длины, но в этом случае наглядность затруднительна.

Трактовка вектора как параллельного переноса наиболее абстрактна, ли­шена наглядности, неприемлема в физике. Её достоинства - это отсутствие не­последовательностей в действиях с векторами, естественное введение сложения векторов и умножения вектора на число, более простые доказательства основ­ных законов векторной алгебры. Её реализация требует обширных знаний тео­рии геометрических преобразований. Но геометрические преобразования не со­ставляют основу наших учебников, поэтому такой подход к введению понятия вектора не используется в настоящее время.

Трудность выбора того или иного определения вектора возникает потому, что в различных научных дисциплинах используются различные виды векто­ров. Так, в механике обычно рассматриваются так называемые скользящие век­торы (вектор, начало которого можно выбирать на некоторой прямой, по кото­рой он может перемещаться) и связанный вектор (вектор, начало которого отождествляется с некоторой фиксированной точкой); в математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

Итак, рассмотрение различных интерпретаций векторного пространства приводит к выводу о том, что наиболее приемлемой в средней школе является интерпретация вектора как направленного отрезка.

Следует заметить, что есть предложения отказаться в школьном курсе геометрии от определения вектора. В этом случае вектор появляется как тер­мин, обозначающий векторные величины; направленный отрезок выступает как изображение этой величины (вектора).

Такой подход реализуется в учебнике геометрии А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика и в «Экспериментальном учебном пособии по мате­матике» для ПТУ М. И. Башмакова (М., 1987).

Последовательность изучения векторных понятий в действующих учеб­никах геометрии представлена в таблице 14.

220

Автор учебника	Л. С. Атанасян и др.	А. В. Погорелов
X класс (последняя глава)	Понятие вектора, нулевой вектор, длина или модуль вектора, равные векторы, откладывание вектора от точки, сложение и вычитание векто­ров, умножение вектора на число	Понятие вектора, абсолютная ве­личина (модуль) вектора, равные векторы, нулевой вектор, откла­дывание вектора от точки, коор­динаты вектора, сложение векто­ров, умножение вектора на число, коллинеарные вектора, скалярное произведение векторов.
ч класс	Скалярное произведение векторов

Изложение теории векторов в учебнике А. В. Погорелова отличается от * «и» I иотствующего изложения в учебнике J1. С. Атанасяна и др. не только по- 1 ипитательностью, но и методом изложения.

И основу изложения векторов в учебнике А. В. Погорелова положен коор­динатный метод, поэтому здесь широко используются координатные модели век- i ирных нонятий и доказательства теорем с использованием координат вектора.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др., а также в учебнике А. Д. Александрова и др. используется метод изложения без использования координат. Это создает опре­деленные трудности в обосновании законов векторной алгебры. Трудности возни- Mini, главным образом, за счет необходимости рассмотрения большого количества Mm miых случаев. Так, доказательство независимости суммы векторов от выбранной тмин Iребует рассмотрения кроме стандартного случая (точки А, В, С, А\_ь B\_s С\ не >i#ifcai на одной прямой), который приведен в учебнике Л. С. Атанасяна и др., слу­чаи, при котором все точки А, В, С, A_h B_h С\ расположены на одной прямой. Дока- кнрцьстио переместительного свойства сложения векторов предполагает рассмот­рение днух частных случаев, а доказательство сочетательного свойства умножения й#* юра па число - четырех случаев.

И учебнике Л. С. Атанасяна и др. большинство теорем, связанных со ttioHi (нами векторов, сообщаются без доказательства. В учебнике А.Д. Алек- t анароиа п др. - все свойства обосновываются.

I ема «Векторы» как в учебнике Л. С. Атанасяна и др., так и в учебнике AMI 1отрелова, является последней в курсе геометрии 8 класса. Это, очевид­на тражает точку зрения авторов на функции векторов в изложении геомет­рии им отводится, в основном, служебная роль (способствовать изучению фи- 1нчт них иск горных величин). Об этом говорит и то, что векторы никак не свя- 4йнм < и 1> мопнем основного содержания курса геометрии.

И действующих учебниках геометрии вектор трактуется как направлен­ный Miprioic. 11ри введении понятия вектора следует обратить внимание на по­нимание рачличия между отрезком и направленным отрезком. Ученики должны V* ими I к что отрезок АВ и отрезок ВА ~ один и тот же объект, направленный от-

221