После этого делается вывод, что графиком любой линейной функции яв­ляется прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

В качестве упражнений можно рассмотреть примеры на построение гра­фика линейной функции: 1) у = 2х + 3; 2) у = - 0,8х + 1.

Замечание 1.В7 классе принимают без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая линия. В 8 классе после изучения признаков подобия треугольников появляется возможность обосновать этот факт {попробуйте провести доказательство самостоятельно).

Замечание 2. Если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть пря­мой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

Влияние коэффициентов hub на поведение функции

1. При к = 0 формула у = кх + Ъ имеет вид у = Ох + Ъ, то есть у~Ь. Линей­ная функция, задаваемая формулой у = Ъ, принимает одно и то же значение при любом х, например, функция у = -2 принимает значение -2 при любом х. Функ­ция у = b - это частный случай линейной функции. Её графиком является пря­мая, параллельная оси ОХ и проходящая через точку (0; -2).

Для учащихся построение графика функции у = Ъ представляет опреде­ленную трудность психологического характера, так как в такой формуле в яв­ном виде не содержится переменная х. Поэтому можно рекомендовать записы­вать формулу у = b в виде у = Ох + Ъ, тогда, как и в общем случае, учащиеся

137

смогут находить пары соответственных значений х и у. (При этом в качестве х берется любое число, а значение у при любом х оказывается равным Ь.)

Желательно, чтобы на первых же уроках учащиеся усвоили, что графиком функции у = b служит прямая, параллельная оси ОХ.\ и что при Ъ = О мы полу­чаем саму ось ОХ.

2. Вторым частным случаем линейной функции является прямая пропор­циональность.

Введение прямой пропорциональности осуществляется следующим обра­зом. Рассматривается пример: пусть V- объем железного бруска в см³, т - его масса в г. Так как плотность железа равна 7,8 г/см³, то т = 7,8 К

Зависимость массы железного бруска от его объема является примером функции, которая задается формулой вида у = кх₉ где х - независимая перемен­ная, к- число, отличное от нуля. Такую функцию называют прямой пропорцио­нальностью. Затем формулируется определение.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, кото­рую можно задать формулой вида у = for, где х - независимая переменная, к - число, отличное от нуля.

Учащимся сообщается, что прямая пропорциональность является част­ным случаем линейной функции, так как формула у = кх получается из форму­лы;; = кх + Ъ при Ъ~ 0. Отсюда следует, что графиком прямой пропорциональ­ности служит прямая. Эта прямая проходит через начало координат, так как прих = 0 у = 0.

Итак, графиком прямой пропорциональности является прямая., проходя­щая через начало координат.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отме­тить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести че­рез эту точку и начало координат прямую. (Учащимся предлагается построить график функции у = 0,5х.)

Расположение графика функции у = кх в координатной плоскости зависит от коэффициента к. Из формулы у = кх находим, что если х = 1, то у = к. Значит, график функции у = кх проходит через точку (1; к). При к > 0 эта точка распо­ложена в первой координатной четверти, а при к < 0 - в четвертой.

Отсюда следует, что при к > 0 график прямой пропорциональности рас­положен в I и III координатных четвертях, а при к < 0 - во II и IV четвертях.

Итак, обучив семиклассников построению графика линейной функции, можно приступить к элементарному исследованию свойств этой функции. В 7-м классе возможно аналитически выделить значения аргумента, при которых ли­нейная функция принимает положительные (отрицательные) значения, доказать монотонность линейной функции. При этом придется обходиться определения­ми действий над положительными и отрицательными числами. Все остальные свойства (например, роль и геометрический смысл коэффициентов в уравнении линейной функции) можно установить из геометрических соображений.

Достаточно легко устанавливается, что коэффициент Ъ есть значение ли­нейной функции при х = 0. Геометрически Ь означает длину и положение на оси ординат отрезка, отсекаемого графиком функции, считая от 0 (вверх, если Ъ > 0,

и вниз, если Ъ < 0) или иначе, это ордината точки пересечения графика функции с осью OY (абсцисса этой точки всегда равна 0). А коэффициент к находится в случае прямой пропорциональности у = кх как к = у(1), В общем случае линей­ной функции как к = у(1) - Ь, Учащимся следует все это показать на графиках функций (рис. 41а, б).

Рис. 41

Значительные трудности представляет случай отрицательных значений угло­вого коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогично.

Конечно, необходимы упражнения в отыскании коэффициентов линей­ной функции по их графикам. Начальные упражнения должны быть простыми и иметь своей целью усвоение геометрического смысла коэффициентов форму­лы, задающей функцию. Приведем примеры.

1. Найдите значения коэффициентов к в уравнениях прямых у = hс, изо­браженных на рисунке 42. Запишите уравнения этих прямых.

2. а) Найдите значения коэффициентов Ъ для прямых у = кх + 6, изобра­женных на рисунке 43.

б) Каковы числовые значения коэффициентов к для этих прямых с точностью до 0,1?

в) Запишите уравнения прямых, изображенных на этом рисунке (изме­рения дадут приближенные значения к и Ь).

139