ложена выше оси ОХ, поэтому решением первого неравенства служат про­межутки х < ^ и х > i. Второе неравенство не имеет решений, так как ниже

оси ОХ нет графика.

Для проверки полученных ответов решаем данные неравенства анали­тически, путем разложения левой части на множители, аналогично тому, как мы делали это в примере 3.

После решения ещё двух (трех) аналогичных уравнений и соответст­вующих им неравенств учащиеся могут сделать выводы по геометрической интерпретации их решений, а именно:

1. Если квадратное уравнение ах² + Ьх + с~ 0 имеет один корень, то геометрически это означает, что парабола - график функции

у = ах + Ьх + с - имеет с осью ОХ одну общую точку (то есть каса­ется её) и абсцисса этой точки является корнем данного уравнения. Верно и обратное:

если парабола - график функции у = ах² + Ьх + с ~~ имеет с осью ОХ одну общую точку (то есть касается её% то квадратное уравнение ал? + Ьх + с = 0 имеет один корень, которым является абсцисса этой точки.

2. Если квадратное неравенство ах² + Ьх + с> 0 (ах² + Ьх + с < 0) выполняется при всехх, кроме одного, то геометрически это означа­ет, что вся парабола расположена выше (ниже) оси ОХ, кроме одной её точки, которая лежит на оси ОХ (т. е* парабола касается оси ОХ), Верно и обратное:

если парабола - график функции у = ах² + Ьх + с - касается оси ОХ, то квадратное неравенство ах² + Ьх + с> 0 (ах² + Ьх + с < 0) при а >0 (а < 0) выполняется при всехх, кроме одного - абсциссы точки каса­ния, при а < 0 (а > 0) - решений нет.

Пример 5. Решить квадратное уравнение -х² + Зх - 4 = 0 и соответ­ствующие ему неравенства: -х² + Зх - 4 > 0 и -х² + Зх - 4 < 0.

Решение./. Алгебраический метод

-х + Зх4 = 0, здесь а ■== -1, Ь = 3, с = -4, тогда дискриминант этого уравнения равен: D = Ь²- 4ас = -7. Так как D < 0, то данное квадратное урав­нение не имеет корней.

2. Графический метод

Построим график функции;; = ~х² + Зх - 4. Найдем сначала координаты

вершины параболы.

а = - I (а < 0, значит, ветви параболы направлены вниз), Ь = 3,

Ь 3 3 7 3 7

Хо=-—= -,>>о⁼ f(-)”~ -.Значит, вершиной параболы является точка (-; --),

а осью параболы - прямая х = ~.

Также, как и в предыдущих примерах выполняем построение графика, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (рис. 8).

77

Рис. 8

Как видно из рисунка, парабола не пе- ресекает ось ОХ, значит, данное уравнение -х + Зх - 4 = 0 не имеет корней.

Решаем с помощью графика соответст- вующие неравенства: -х + Зх - 4 > 0 и

-х² + Зх - 4 < 0, Рисунок показывает, что вся парабола лежит ниже оси ОХ, поэтому пер- вое неравенство не имеет решений, а второе неравенство выполняется при всех х. Из графи- ческого решения учащиеся делают выводы:

L Earn квадратное уравнение ах? + Ьх + с = О не имеет корней, то геометрически это означает, что парабола - график функции у — ах² + Ьх + с

• не пересекает ось ОХ. Верно и обратное:

если парабола - график функции у = ах² + Ьх + с ~ не пересекает ось ОХ, то квадратное уравнение ах + Ьх + с = 0 не имеет корней.

2. Если квадратное неравенство ах + Ьх + с> 0 (ах² + Ьх + с < 0, пусть для определенности а > 0) выполняется при всех значениях х, то геометри- чески это означает, что парабола - график функции у = ах² + Ьх + с - распо- ложена вся выше (ниже) оси ОХ.

Если же указанное неравенство не имеет решений, то геометриче- ски это означает, что парабола вся расположена ниже (выше) оси ОХ.

Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным, можно решать аналогично, предварительно приведя их к квадратным. Приведем пример.

Пример 6. Решить уравнение х - Зх + 2 = 2х - х² и соответствующие ему неравенства: х² - Зх + 2 > 2х - х² и х² - Зх + 2 < 2х - х².

Решение./, Алгебраический метод

х² - Зх + 2 = 2х - х², преобразуем данное уравнение, перенеся все члены

в левую часть:

х² - Зх + 2 - 2х -

после приведения подобных членов получим квадратное уравнение:

2х² - 5х + 2 = О, его корни находим по известной формуле:

J.

2. *

1

- х² - О,

5 ± J 25-16 5 ± 3

*1,2= —_А = —“—• *Г

4 4

^: 2, х₂ =

О т в е т: х\ = 2, х₂ = •

П. Графический метод

Графически данное уравнение можно решить, не преобразовывая его, построив графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, то есть yi - х - Зх + 2 и у₂ = 2х - х². Графиками данных функций являются две параболы. Построение их осуществляем по схеме, приведенной в примере 3.

Для первой функции у\ = х - Зх + 2 находим:

78