Таким же как в определении (без части плоскости) представляют себе треугольник учащиеся. В этом случае воображаемая модель треугольника соответствует его графической модели (изображению на доске и бумаге).

В учебнике геометрии авторов А.Д. Александрова, АЛ. Вернера и В.И. Рыжика такие понятия как угол,треугольник, многоугольник с самого начала трактуются как «часть плоскости».

Курсы геометрии А.В. Погорелова, JI.C. Атанасяна и др., А.Д. Алексан­дрова и др. построены аксиоматически с умеренным уровнем строгости, учи­тывающим возрастные особенности учащихся в усвоении тех или иных по­нятий, и объема материала, подлежащего изучению. Аксиоматика школьного курса геометрии выступает в них не как основа строго формализованной тео­рии, а как совокупность характеристических свойств математической модели реального пространства.

В учебниках геометрии А.В. Погорелова, А.Д. Александрова и др. ак­сиомы вводятся по мере надобности в них, и доказательства теорем осущест­вляются со ссылками на используемые аксиомы и ранее доказанные теоремы.

Система аксиом учебника геометрии JI. С. Атанасяна и др. не содержит­ся в самом учебнике, она представлена в конце его в Приложении 1. Можно сказать, данный учебник построен аксиоматически лишь для учителя, аксио­матика этого пособия скрыта для учащихся. Объясняется это следующим:

1. громоздкостью аксиоматики учебника Л. С. Атанасяна;

2. учащиеся не понимают на первых уроках роль аксиом; доказательст­ва теорем со ссылками на аксиомы кажутся им неестественными: для учени­ка 7 класса, доказывающего первый признак равенства треугольников по учебнику А. В. Погорелова, треугольник AiB₂C₂, равный треугольнику ABC (рис. 52), существует сам по себе, безотносительно к аксиоме существования треугольника, равного данному.

3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах

Чтобы выяснить логические основы школьного курса геометрии, про­ведем краткий анализ действующих учебников.

1. Учебник геометрии А. В. Погорелова

Неопределяемые понятия: точка, прямая, принадлежность точки прямой, отношение трех точек «лежать между», длина отрезка, градусная мера угла.

А

А

В

А

Рис. 52

156

Система аксиом планиметрии состоит из следующих групп аксиом.

1. Аксиомы принадлежности

1_Ь Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки не принадлежащие ей.

1₂. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Из второй аксиомы следует, что каждая прямая определяется заданием двух её точек. Это дает основание для обозначения прямой двумя точками, например, прямая АВ. Из второй аксиомы следует также, что две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

2. Аксиомы порядка

Hi. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

П₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы ка- кого-нибудь отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пере­секается с прямой. Если концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой.

Аксиомы данной группы позволяют ввести понятия отрезка, луча, тре­угольника. С помощью этих аксиом и аксиом III и IV групп можно доказать, что точка А, лежащая на прямой а, разбивает эту прямую на два луча и явля­ется начальной точкой для каждого из них. Данное утверждение позволяет ввести понятие дополнительного луча. Затем, используя понятия луча и до­полнительного луча, можно ввести понятие угла и развернутого угла.

3. Аксиомы измерения отрезков и углов

III 1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома IHi позволяет ввести координаты на прямой, то есть сопоста­вить каждой точке действительное число так, что если х(А) и х(В) - коорди­наты точек А и В, то длина отрезка АВ равна: \АВ\ = \х (В) - х (Л)|. Однако для установления взаимно-однозначного соответствия между точками прямой и действительными числами нужна аксиома существования отрезка данной длины.

Ш₂. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Используя понятия длины отрезка и градусной меры угла, можно вве­сти понятия равных отрезков, равных углов и равных треугольников, причем понятие равенства треугольников распространяется на ориентированные тре­угольники.

ААВС - AA\B\Ci, если у них ZA = ZA_h ZB~ АВ_Ъ ZC~ ZC\,

АВ = А\В\_Ь АС = А\С\ и ВС = В\С\. При обозначении равенства треугольни­ков важен порядок в котором записываются вершины треугольников. Равенство ААВС = lsA\B\C\ означает, что ZA ~ZA\, ZB= ZB_h ZC- ZC\.... Равенство tsABC = bJB\C\A\ означает уже другое: ZA = ZB_h ZB= ZC_h ZC= zAi... .

157

4. Аксиомы откладывания отрезков и углов

IVi- На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить от­резок заданной длины, и только один.

Из этой аксиомы следует, что введением координат на прямой устанав­ливается взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и дейст­вительными числами.

IV₂. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей, чем 180°, и только один.

4. Аксиома существования треугольника, равного данному

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

4. Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плос­кости не более одной прямой, параллельной данной.

2. Учебник геометрии Л. С Атаиасяна и др.

Неопределяемые понятия: точка, прямая, отношение трех точек «ле­жать между», наложение (понятие принадлежности трактуется авторами как теоретико-множественное, а поэтому не относится к числу неопределяемых понятий).

Система аксиом планиметрии включает следующие группы аксиом.

1. Аксиомы принадлежности (3 аксиомы).

2. Аксиомы порядка (3 аксиомы).

3. Аксиомы наложения (8 аксиом, они позволяют ввести понятие ра­венства фигур).

4. Аксиомы измерения отрезков.

Аксиомы первых четырех групп позволяют ввести координаты на пря­мой и доказать взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами, а также обосновать измерение углов.

5. Аксиома параллельных прямых.

3. Пробный учебник А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. К Рыжика,

Построение геометрии в данном учебнике опирается на оригинальную аксиоматику, существенным отличием которой является использование от­резка, а не прямой, как неопределенного понятия.

Приведем аксиомы планиметрии.

1. Каждые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.

2. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов.

Аксиомы HI позволяют ввести понятия: «лежать между», прямая, луч.

Лучом называется фигура, получающаяся при неограниченном продолжении отрезка за один из его концов. Прямой АВ называется фигура, которая полу­чается при неограниченном продолжении отрезка АВ за оба конца.

3. Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.

4. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

158