I р к м ii и Ш

\ ГЛННКНИЯ И НЕРАВЕНСТВА II ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

i < 'одержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики. ' | >1 ионные понятия линии уравнений и неравенств: н) трактовка понятия уравнения;

0. ршшосильность и логическое следование;

и) к шссификация преобразований уравнений, неравенств и их систем;

0. логические обоснования при изучении уравнений и неравенств.

^! I Ьк лсдовательность изучения линии уравнений и неравенств.

1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики

Решение уравнений и неравенств составляет значительную часть школь­ною курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства ши­рит иг пользуются в различных разделах математики, в решении важных ири- 1' пмдиых задач.

Уравнения и неравенства уже сами по себе представляют интерес для и i у • I i ч I ия, так как именно с их помощью на символическом языке записываются шиингпшис задачи, связанные с познанием реальной действительности. Этой |пи1ыо уравнений и неравенств в естествознании определяется и их роль в mi'Imi.itOM курсе математики. Но дело не только в этом. При изучении любой i i м уравнения и неравенства могут быть использованы как эффективное ■ | н-не I мо закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических iiiuiimi, для развития творческой математической деятельности учащихся. Опе­рации над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, мифические соотношения между элементами геометрических фигур, а также

| it и с этими вопросами тождества и тождественные преобразования в

процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на ре- июнис уравнений и неравенств. Например, ознакомившись с распределитель­ным законом умножения относительно сложения, учащиеся могут применить «I о к решению уравнений вида (х + 5) • 2 = 16, 14х + 27х = 656; в 7 классе реше­ти’ вопроса: может ли уравнение х⁴ - 25х³ + 13х² - 20х +1 = 0 иметь отрица-

41

тельные корни? - не только потребует применения знаний свойств степеней ра­циональных чисел, но и будет способствовать развитию исследовательских способностей учащихся. Возможность разнообразить формы упражнений (ре­шить заданное уравнение (неравенство); составить уравнение (неравенство) по заданному множеству его решений; решить задачу с помощью уравнения (нера­венства); составить задачу по заданному уравнению (неравенству); составить два уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество решений и т.д.) спо­собствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся.

Графическое решение уравнений и неравенств раскрывает значение ме­тодов аналитической геометрии, а также играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения. Решение задач из различных разделов мате­матики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере её расчленения на арифметику, алгебру, геометрию.

Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении задач жиз­ненного содержания. Решение задач, связанных с основами современного про­изводства, экономикой народного хозяйства, со смежными дисциплинами мо­жет служить одним из эффективных способов осуществления принципа связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся к свободному выбо­ру будущей профессии.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой Древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX - VI вв. до н.э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда возникали задачи, в которых искомое значение ве­личины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, факти­чески, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для ре­шения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться первые алгебраические представления. Сначала был создан ме­тод решения текстовых задач. Он послужил в дальнейшем основой для выделе­ния алгебраического компонента и его независимого изучения. Это изучение осуществлялось в период VI - X вв. н.э. сначала арабскими математиками, выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приво­дились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими ма­тематиками Возрождения. Именно они в итоге длительного поиска создали язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифмети­ческих операций, скобок и т.д.).

На рубеже XVI - XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее её развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении по­нятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилось, какую важную роль играет понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

()ткрытие координатного метода (Р. Декарт, XVII в,), развитие аналити- N • mi Г] геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связан­ным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур.

развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего ал-

I готического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными об- | н гимн своего функционирования: 1) уравнение как средство решения тек- niiiiiiiix задач; 2) уравнение как особого рода формула, которая служит в ал- п1||ю объектом изучения; 3) уравнение как формула, которой косвенно опре- ипотсн числа или координаты точек плоскости (пространства), являю-

II его решением.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоас- N i7, что, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, осо-

но если речь идет о проблемах школьного математического образования.

11виду важности и обширности материала, связанного с понятием уравне­нии, ого изучение в современной методике математики организовано в содер- чктч'льно-методическую линию - линию уравнений и неравенств. Здесь рисгматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, иПщих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и не- |ши1Ч|ств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса ма- I МММ гики.

Иыделенным областям возникновения и функционирования понятия \ риинеиия в алгебре соответствуют три основных направления развертывания I шиш уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

и) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскры- mih' Iгм главным образом при изучении алгебраического метода решения тексто- И1,| \ шдач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так как он • ни шп с обучением приемам, которые используются в приложениях математи- ||| 11рикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, ч m они используются в математическом моделировании.

(>) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и не- Iчинш’ гп раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных | пт гон уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых. в изучении обобщен­ии . понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекты необ- Iшимы в курсе школьной математики.

м) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность науста- п,чтение связей с остальным содержанием курса математики.

' )та линия тесно связана с числовой линией. Все числовые области, которые |кн гмитриваются в школьной алгебре и началах анализа, за исключением облас- IH иссх действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо урав- нгннИ, неравенств, систем. Связь линии уравнений и неравенств с числовой ли- ингй Онусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь вве- нчити числовая область расширяет возможности составления и решения раз- м|'пп.IX уравнений и неравенств. Например, введение арифметического квадрат- |цн о корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только урав­нений вида х = Ъ, где Ъ - неотрицательное рациональное число, но и любых

43