- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
I
р к м ii
и Ш
\
ГЛННКНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА II ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
i
<
'одержание и роль линии уравнений и
неравенств в современном школьном
курсе математики. ' | >1
ионные понятия линии уравнений и
неравенств: н)
трактовка понятия уравнения;
ршшосильность
и логическое следование;
и)
к шссификация преобразований уравнений,
неравенств и их систем;
логические
обоснования при изучении уравнений и
неравенств.
!
I Ьк лсдовательность изучения линии
уравнений и неравенств.
Решение
уравнений и неравенств составляет
значительную часть школьною курса
математики. Это объясняется тем, что
уравнения и неравенства ширит иг
пользуются в различных разделах
математики, в решении важных ири- 1'
пмдиых задач.
Уравнения
и неравенства уже сами по себе представляют
интерес для и i
у
• I
i ч
I ия,
так как именно с их помощью на символическом
языке записываются шиингпшис задачи,
связанные с познанием реальной
действительности. Этой |пи1ыо
уравнений и неравенств в естествознании
определяется и их роль в mi'Imi.itOM
курсе
математики. Но дело не только в этом.
При изучении любой i
i м
уравнения и неравенства могут быть
использованы как эффективное ■ | н-не
I мо закрепления, углубления, повторения
и расширения теоретических iiiuiimi,
для
развития творческой математической
деятельности учащихся. Операции
над
числами и свойства этих операций,
функции и свойства функций, мифические
соотношения между элементами
геометрических фигур, а также
|
it
и
с
этими вопросами тождества и тождественные
преобразования в
процессе
изучения сразу же могут находить
отражение в упражнениях на ре- июнис
уравнений и неравенств. Например,
ознакомившись с распределительным
законом умножения относительно сложения,
учащиеся могут применить «I о к решению
уравнений вида (х + 5) • 2 = 16, 14х + 27х = 656;
в 7 классе решети’ вопроса: может ли
уравнение х4
- 25х3
+ 13х2
- 20х +1 = 0 иметь отрица-
41
1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
тельные
корни? - не только потребует применения
знаний свойств степеней рациональных
чисел, но и будет способствовать развитию
исследовательских способностей
учащихся. Возможность разнообразить
формы упражнений (решить заданное
уравнение (неравенство); составить
уравнение (неравенство) по заданному
множеству его решений; решить задачу
с помощью уравнения (неравенства);
составить задачу по заданному уравнению
(неравенству); составить два уравнения
(неравенства), имеющие одно и то же
множество решений и т.д.) способствует
развитию сообразительности, находчивости
и инициативы учащихся.
Графическое
решение уравнений и неравенств раскрывает
значение методов аналитической
геометрии, а также играет немаловажную
роль в развитии пространственного
воображения. Решение задач из различных
разделов математики с помощью
уравнений и неравенств формирует
представление о единой математике и
относительном характере её расчленения
на арифметику, алгебру, геометрию.
Значительна
роль метода уравнений и неравенств в
решении задач жизненного содержания.
Решение задач, связанных с основами
современного производства, экономикой
народного хозяйства, со смежными
дисциплинами может служить одним
из эффективных способов осуществления
принципа связи преподавания математики
с жизнью, подготовки учащихся к свободному
выбору будущей профессии.
Истоки
алгебраических методов решения
практических задач связаны с наукой
Древнего мира. Как известно из истории
математики, значительная часть задач
математического характера, решаемых
египетскими, шумерскими, вавилонскими
писцами-вычислителями (XX - VI вв. до н.э.),
имела расчетный характер. Однако уже
тогда возникали задачи, в которых
искомое значение величины задавалось
некоторыми косвенными условиями,
требующими, фактически, составления
уравнения
или системы
уравнений.
Первоначально для решения таких
задач применялись арифметические
методы. В дальнейшем начали формироваться
первые алгебраические представления.
Сначала был создан метод решения
текстовых задач. Он послужил в дальнейшем
основой для выделения алгебраического
компонента
и его независимого изучения. Это изучение
осуществлялось в период VI - X вв. н.э.
сначала арабскими
математиками, выделившими характерные
действия, посредством которых уравнения
приводились к стандартному виду
(приведение подобных членов, перенос
членов из одной части уравнения в другую
с переменой знака), а затем европейскими
математиками Возрождения.
Именно они
в итоге длительного поиска создали
язык современной алгебры
(использование букв, введение символов
арифметических операций, скобок и
т.д.).
На
рубеже XVI - XVII вв. алгебра как специфическая
часть математики, обладающая своим
предметом, методом, областями приложения,
была уже сформирована. Дальнейшее её
развитие, вплоть до нашего времени,
состояло в совершенствовании методов,
расширении области приложений, уточнении
понятий и связей их с понятиями
других разделов математики. В этом
процессе все яснее становилось, какую
важную роль играет понятие уравнения
в системе алгебраических понятий.
()ткрытие
координатного метода (Р. Декарт, XVII в,),
развитие аналити- N
•
mi
Г]
геометрии позволили применить алгебру
не только к задачам, связанным с
числовой системой, но и к изучению
различных геометрических фигур.
развития алгебры упрочила положение
уравнения как ведущего ал-
I
готического понятия, которое связывалось
теперь уже с тремя главными об- | н гимн
своего функционирования: 1)
уравнение
как средство решения тек- niiiiiiiix
задач;
2)
уравнение
как особого рода формула,
которая
служит в ал- п1||ю
объектом изучения; 3) уравнение
как формула, которой косвенно опре-
ипотсн числа или координаты точек
плоскости (пространства),
являю-
II его решением.
Таким
образом, уравнение
как
общематематическое понятие многоас-
N
i7,
что,
причем
ни один из аспектов нельзя исключить
из рассмотрения, осо-
но
если речь идет о проблемах школьного
математического образования.
11виду
важности и обширности материала,
связанного с понятием уравнении,
ого изучение в современной методике
математики организовано в содер-
чктч'льно-методическую линию
- линию
уравнений и неравенств.
Здесь
рисгматриваются вопросы формирования
понятий уравнения и неравенства, иПщих
и частных методов их решения, взаимосвязи
изучения уравнений и не- |ши1Ч|ств
с числовой, функциональной и другими
линиями школьного курса ма- I
МММ гики.
Иыделенным
областям возникновения и функционирования
понятия \ риинеиия в алгебре соответствуют
три
основных направления развертывания I
шиш уравнений и неравенств в школьном
курсе математики.
и)
Прикладная
направленность
линии
уравнений и неравенств раскры- mih'
Iгм
главным образом при изучении
алгебраического метода решения тексто-
И1,|
\ шдач. Этот метод широко применяется
в школьной математике, так как он • ни
шп с обучением приемам, которые
используются в приложениях математи-
||| 11рикладное значение уравнений,
неравенств и их систем определяется
тем, ч m
они
используются в математическом
моделировании.
(>)
Теоретико-математическая
направленность
линии
уравнений и не- Iчинш’ гп раскрывается
в двух аспектах: во-первых,
в изучении наиболее важных | пт гон
уравнений, неравенств и их систем и,
во-вторых.
в изучении обобщении . понятий и
методов, относящихся к линии в целом.
Оба эти аспекты необ- Iшимы в курсе
школьной математики.
м)
Для линии уравнений и неравенств
характерна направленность
науста- п,чтение связей с остальным
содержанием курса математики.
'
)та линия тесно связана с числовой
линией.
Все числовые области, которые |кн
гмитриваются в школьной алгебре и
началах анализа, за исключением облас-
IH
иссх
действительных чисел, возникают в связи
с решением каких-либо урав- нгннИ,
неравенств, систем. Связь линии уравнений
и неравенств с числовой ли- ингй
Онусторонняя.
Обратное влияние проявляется в том,
что каждая вновь вве- нчити числовая
область расширяет возможности составления
и решения раз- м|'пп.IX
уравнений
и неравенств. Например, введение
арифметического квадрат- |цн о корня
из рациональных чисел позволяет
записывать корни не только уравнений
вида х
= Ъ,
где Ъ
- неотрицательное рациональное число,
но и любых
43