Ответ: решений нет.

Итак, сравнивая оба метода учащиеся приходят к выводу:

4. Если система двух уравнений с двумя переменными, одно из ко­торых или оба второй степени, не имеет решений, то геометрически нио означает, что графики уравнений системы не пересекаются. Верно и обратное: если графики уравнений названной системы не пересекаются, то система не имеет решений.

Пример 10. Решить систему уравнений:

х²+у=5,

х+у² = 3.

Решение./. Алгебраический метод (способ подстановки)

1. Выразим у через х из первого уравнения системы: у-5-х².

2. Подставим вместо у полученное выражение во второе уравнение сис­темы, тогда получим:

х + (5 -х²)² = 3.

3. Преобразуем полученное уравнение:

х + 25 — 10х² + X^е

3 = 0,

х - 10х² + х + 22 = 0.

Пришли к уравнению четвертой степени, которое учащиеся 8 класса не могут решить без специальной подготовки.

2. Графический метод

Построим в одной системе координат графики уравнений системы. Для этого выразим из первого уравнения системы у через х: у = 5 - х², а из второ- го уравнения - х через у: х - 3 -у².

Графиком первого уравнения у = 5 -х² является парабола с вершиной в

точке (0; 5), пересекающая ось ОХ в точках (-/?; 0), (-/5; 0). Осью сим- метрии параболы является ось OY, ветви параболы направлены вниз.

Графиком второго уравнения является парабола с вершиной в точке (3; 0), осью симметрии у = 0 и пере- секающая ось OY в точках (0; л/з ) и (0; -л/з) (то есть горизонтально распо- ложенная парабола) (рис. 13).

Как видим из рисунка, параболы пересекаются в четырех точках, зна- чит, система уравнений имеет четыре решения. Из рисунка находим при-

ближенные координаты точек пересечения, абсциссы: Х\ = 2, х₂ « 2,3, х₃ «-1,7, л:₄ ^ - 2,8 и ординаты:^ = 1,у₂ « - 0,6,у₃ » 2,2,у₄ »- 2,4.

О т в е т: (2; 1), (2,3; -0,6), (-1,7; 2,2), (-2,8; -2,4).

Аналогично двумя методами можно решить следующие системы уравнений:

83

В некоторых случаях, прежде чем использовать графический метод, следует преобразовать систему, довести её до графической кондиции. На­пример, решить систему уравнений

сходу, путем построения графиков уравнений не удастся. Способом подстановки её решать также неудобно, так как нельзя получить рациональ­ного выражения одной переменной через другую. Поэтому сначала преобра­зуем данную систему. Умножив второе уравнение на -1 и сложив почленно с первым уравнением, получим:

равносильна первоначальной, состоит из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Эта система легко решается способом подстановки и графическим методом.

Таким образом, постоянное сопоставление алгебраического и графиче­ского методов решения систем уравнений, одно из которых или оба второй степени, приучает учащихся за аналитической записью системы видеть её геометрический образ, а значит, и количество решений. В то же время они убеждаются, что иногда данную систему трудно решить аналитически, но можно легко решить графически или наоборот, графический метод недосту­пен, но систему можно решить алгебраическим методом, то есть при решении подобных систем знание одного метода решения (алгебраического или графи­ческого) недостаточно, обязательно необходимы знания и умения по исполь­зованию другого метода.

Одновременное обучение двум методам позволит учитывать и индиви­дуальные особенности учащихся, связанные с разными типами ума (аналити­ческим и геометрическим), о которых говорили такие ученые-математики, как А. Пуанкаре, Ж. Адамар, а также известный отечественный психолог

В.А. Крутецкий.

[х² + у² — 36, \у-0,5х = О

6х + 6у= 102.

Затем разделим каждый член этого уравнения на 6:

х+у= 17,

Система уравнений:

х²+у² = 169, х+у= 17,

84

У1 \ 5 -5 ^	” \ /У2 у \ ^ 1 ———
[ j j j-	" J *■" 1 III ► . 1 5 X
	--5

как при х > Х\ функция у\= — убывает, а

х

функция у₂ = х² + 1 возрастает, и, следова- тельно, графики функций при х > xi не пе- ресекаются. По этой же причине они не пересекаются при 0 < х < xi,

Ответ:х« 1,2.

Таким образом, уравнение f(x) = g(x), где

f(x) и g(x) степенные функции, разномонотонные, лучше решать графическим методом, где наглядно можно увидеть промежутки (интервалы), в которых уравнение имеет корни и в которых оно не имеет корней, а также, если имеет корни, то сколько их.

Итак, на основе графического решения уравнения учащиеся делают вывод:

Рис. 14

85

L Ecjiu уравнение, содержащее степень, имеет корни, то геомет­рически этд означает, что графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, пересекаются, и абсциссы точек пересечения являют­ся корнями уравнения. Верно и обратное: если графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, содержащего степень, пересекаются то уравнение имеет корни, которыми являются абсциссы точек пересе­чения этих графиков.

Призер 12. Решить уравнение 4*Jx + l = I 2х - ll +3.

Решение./. Алгебраический метод

1. Найдем область допустимых значений для переменной х.

х + 1 > 0, откуда х > -1.

2. Выражение, стоящее под знаком модуля, приравняем к нулю;

2л: —1=0, откудах = ~.

Учитывая ОДЗ, вся числовая ось разобьется на два промежутка:

~1 < х < - и*>!.В каждом из этих промежутков решим наше уравнение.

2

3. При -1 < х < ~ получаем:

4 д/ х + 1 = -2х + 4,

2 д/х +1 — ~х + 2.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения:

4х + 4 = х² - 4х + 4, х² - 8х = 0 или х (х - 8) = 0, откуда х\ = 0, х₂ = 8.

Второй корень является посторонним, так как он не входит в промежу­ток -1 < х < I _? на котором рассматривается уравнение. Итак, х = 0 - корень исходного уравнения.

4. При * > 1 наше уравнение примет вид:

2. д/х +1 = 2х - 1 + 3,

2. д/"х"+Т = 2х "Ь 2.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения: х² - 2х - 3 = 0.

Решая Это уравнение, находим: х\ = 3, х₂ = - 1. Второй корень не входит в промежуток х > ^, поэтому он является посторонним. Итак, х = 3 - корень

исходного уравнения. Учитывая корень, найденный в пункте 3, получаем ответ. Отвег:х1 = 0,х₂ = 3.

Как мы; видим, алгебраический метод решения уравнения требует от учащихся большой внимательности, так как появляются посторонние корни. Необходимо Постоянно сравнивать полученный результат с промежутком, на котором рассматривается уравнение.

86