- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
с
фигурой Ф2.
Если
они совместятся, то фигура Ф1
равна
фигуре Ф2.
(Подобные
действия можно проиллюстрировать с
помощью компьютера.)
Согласно
определению равенства фигур два отрезка
(угла, треугольника) равны, если их можно
совместить наложением. Для усвоения
этих понятий следует использовать
упражнения на установление равенства
заданных фигур с помощью кальки. Таким
же способом легко установить, что: а)
равные отрезки имеют равные длины и
обратно; б) равные углы имеют равные
градусные меры и обратно. Эти утверждения
используются для доказательства
равенства отрезков, углов.
Программа
диктует необходимость с самого начала
изучения курса планиметрии проводить
с учащимися работу по формированию и
развитию таких понятий, как «свойство»
и «признак».
После
введения определения равных треугольников
обычно рассматри- нается их свойство:
«В равных треугольниках против равных
сторон лежат равные углы и против
равных углов лежат равные стороны». Из
такой формули- роики
ученику
непонятно, что же здесь дано, а что
требуется доказать. Поэтому желательно
формулировку теоремы дать на языке
«если - то»: «Если треугольники
равны,
то ...». Ученику видно, что даны равные
треугольники, и в этом 11|
у час легче пояснить, что речь идет о
свойствах равных треугольников. Когда
ж
к точение
в формулировке теоремы будет «..., то
такие треугольники равны», to
I-подует
заметить учащимся, что речь идет о
признаке равных треугольников.
I
{елесообразно также выполнить несколько
упражнений на доказательст- ио раненства
фигур с помощью наложения. Такие
упражнения будут способст- моиап.
усвоению метода доказательства, который
используется в учебнике.
I.
ААВС
= АА\В\С\.
Докажите, что медианы BD
и
B\D\
этих
треугольником раины.
Так
как ААВС
= АА\В\Си
то при наложении треугольника ЛВС
на тре- утш.пик А\В)С\
вершины^, В,
С
совпадут соответственно с вершинами
Аь
Ви
I
I 1
пк как точки D
и
Д середины совпавших сторон АС
и А\С\,
то при указанном ианожении они также
совпадут, следовательно, совпадут и
отрезки BD
и
/>! 1пачит, BD^B\D\.
Методика
изучения признаков равенства треугольников
11режде,
чем, приступить к ознакомлению учащихся
с этими признаками, мило
пояснить термины
«угол, прилежащий к стороне», «угол,
противоле- •HiiiHii
о
тропе»,
«сторона,
противолежащая углу», «угол, заключенный
между миронами»
и т.д..
Учащиеся не всегда могут указать угол,
противолежащий MtHiMtirft
о
тропе
тупоугольного
треугольника (рис. 57).
11*1ио
ню па чертеже продолжить стороны
треугольника, заключающие й«{ннормП
угол, и выяснить, что прилежащие стороны
лежат на сторонах угла ‘ни ), а про
гиполежащая углу сторона расположена
внутри угла (рис. 58).
18111Ри иодом пример.
I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
Ознакомление
с признаками равенства треугольников
можно осуществить посредством
упражнения.
Например,
перед введением признака равенства
треугольников по двум сторонам и углу
между ними выполняется упражнение.
1.
Постройте
два треугольника ABC
нАхВ\С\,
у которых AB=A{Bi
=
6cm,AC ~
А\С\
= 5 см,
Z.A
=
ZA\
=
50°. Равны ли треугольники ABC
и
А\ВХС\1
Для
того чтобы ответить на вопрос задачи,
учащиеся должны (в рамках учебника А.В.
Погорелова) измерить стороны ВС
и В\С\,
углы В,
В\,
С, С\
и сравнить результаты.
Упражнение
приведет таким образом к выводу, что
указанные треугольники ABC
и
А\В\С\
равны. Так как выполнение этого упражнения
требует проведения различных
измерений, а значит, и времени, то
целесообразнее предложить его в
качестве домашнего задания, а на уроке
обсудить результаты его выполнения.
Можно использовать для ознакомления
с признаком и специальные модели.
По
учебнику Л. С. Атанасяна и др. введение
признаков равенства треугольников
можно осуществить другим способом.
Взять две каркасные модели треугольника,
удовлетворяющие изучаемому признаку
(равные элементы можно как-то выделить,
например, окрасить одинаковым цветом),
и наложить одну из них на другую
(аналогичную операцию можно также
выполнить с помощью компьютера). В
результате этой операции треугольники
совпадут, откуда и будет следовать
их равенство.
«Открыв»
с учащимися признак равенства
треугольников, следует подчеркнуть
практическую значимость теоремы,
которая позволяет делать вывод о
равенстве двух треугольников не по
равенству шести элементов треугольника
(трех сторон и трех углов), а по равенству
трех элементов (двух сторон и угла между
ними; стороны и двух прилежащих к ней
углов; трех сторон). Здесь же необходимо
выяснить с учащимися и сущность
понятия признака.
Признак
явления позволяет дать однозначный
ответ на вопрос: принадлежит какой-либо
объект данному явлению или нет?
Формулировки
признаков равенства треугольников
громоздки, поэтому целесообразно
поэлементное их усвоение. Например,
формулировка первого признака равенства
треугольников может быть разбита на
следующие элементы: Если
две стороны и угол между ними одного
треугольника /равны соответственно
двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, / то такие треугольники
равны.
182
После
этого можно предложить упражнения на
распознавание.
Важным
этапом в изучении теоремы является её
доказательство.
В
учебнике JI.
С.
Атанасяна и др. доказательства первых
двух признаков равенства треугольников
аналогичны и осуществляются посредством
наложения. Рассмотренные нами
упражнения на доказательство равенства
фигур с по- мощью наложения способствуют
усвоению этого метода, поэтому изучение
первых двух признаков не вызывает
затруднений у школьников.
Доказательство
третьего признака равенства треугольников
(по трем сторонам) не аналогично
доказательству первых двух признаков,
оно отличается большей искусственностью.
Однако и в этом случае
можно привлечь учащихся к её доказательству.
Их внимание следует обратить на то, что
наложение треугольника ЛВС
на
треугольник А\В\С\
не
приводит к успеху (ничего неизвестно
об углах). Поэтому нужно искать новый
способ доказательства. Попробуем
как-то «сблизить» эти треугольники,
для чего наложим треугольник Ш('
на
полуплоскость с границей АхВи
не
содержащую точку С\
(более
подробно
доказательство
см. в учебнике JI.
С.
Атанасяна
и др.).
Доказательства
первых двух признаков равенства
треугольников в учебнике А. В.
Погорелова основывается на аксиомах
существования треугольника, ришюго
данному, откладывания отрезка и угла.
Поиск доказательства первого признака
может быть начат такой беседой.
Как
будем доказывать равенство треугольников
ABC
и
А
\ВХС\
(рис.
59)?
Может
быть кто-то из учащихся ответит, что
нужно измерить стороны ВС
И
/м
I
И
углы
В,
Вь
С,
С\.
В
случае равенства соответствующих
сторон ВС
и
#1*
I и равенства углов С
и
Сь В
и
Въ
делаем
вывод о равенстве самих тре- VIп н.никои.
Но здесь необходимо заметить учащимся,
что таким образом мы мишем установить
равенство конкретных треугольников,
да и то приближенно, и* ник практические
измерения не дают точных результатов.
Итак, нужно ис- мн. способ, который не
основан на измерениях.
11сльзя
ли ввести треугольник, равный треугольнику
ABC
и
«удобнее» (ни-мищми'ппый по отношению
к треугольнику А\В\С\.
Ннсдем
треугольник А\В2Сг,
расположенный так, что точка С2
принадлежи чуму /1|Г|, а точка В2
лежит в одной полуплоскости с точкой
Вх
относи- ♦•имю прямой А\С\.
Теперь задача заключается в доказательстве
равенства фи мии.иикоп А\В\С\
кА\В2
С2.
1.
Чк> надо знать, чтобы установить
равенство треугольников AiBxC\
и
У’
!
!ино ус мповить совпадение треугольников
А\В\С\
и Л\В2
С2.
Рис.
59
183