- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
рицательных
чисел используются активно координатный
луч и координатная прямая, при изучении
свойств и законов действий - буквенная
символика и т.д. Такая организация
учебного материала способствует лучшему
раскрытию содержания изучаемых
знаний и взаимосвязей между ними.
Понятие
числа является стержневым понятием
Школьного курса математики и служит
также фундаментом, на котором строится
изучение функций, тождественных
преобразований, уравнений и т.п. Оно
относится к основным понятиям математики.
Это значит, что нельзя ответить на
вопрос «Что такое число?», используя
ранее введенные понятия и отношения
между ними. По мере продвижения
учащихся от 5 до 11 класса это понятие
обогащается, расширяется в зависимости
от роста сознания учащихся.
Нельзя
ставить перед учащимися вопросы: «Что
такое число?» или «Что называется
числом?» Учащиеся должны получить
представление о числе как об объекте
арифметических операций. Объяснение
учения о числе необходимо строить таким
образом, чтобы была ясна связь понятий
равенства, суммы и произведения, с одной
стороны, и понятия числа, с другой. Нет
понятия равенства, суммы, произведения
без понятия числа, но нет также понятия
числа без понятия равенства, суммы,
произведения. Об этих четырех понятиях
нельзя в школе говорить порознь. Они
имеют смысл лишь в отношениях друг к
другу. Числа обладают свойствами,
которые мы выражаем в понятиях их
равенства, суммы и произведения. Эволюция
числа неразрывно связана с эволюцией
понятия равенства, суммы и произведения.
Развитие этих понятий и есть эволюция
понятия числа. Мы меняем условия
равенства, суммы и Произведения и
получаем новые числа. Первично не
число, а понятия равенства, суммы,
произведения. Однако число не
вторично.
Таким
образом, для того чтобы новые числа
были равноправными, необходимо
введение определения:
1)
Понятия равенства;
2)
Понятия «больше», «меньше».
Понятия
суммы;
Понятия
произведения.
Надо
показать также, что новые числа
подчиняются всем законам арифметических
действий установленных раньше чисел.
В теоретических курсах понятия I
-
III вводятся путем определений, в школьном
курсе математики необходимо показать
целесообразность вводимых определений
путем рассмотрения конкретных
примеров.
Учение
о числе пронизывает весь курс школьной
математики, начиная с пятого и кончая
одиннадцатым классом, и распределяется
по годам обучения следующим образом:
Натуральные
числа: чтение и запись натуральных
чисел; сравнение натуральных чисел;
округление натуральных чисел; действия:
сложение, вычитание, умножение,
деление; законы арифметических действий.
Число
нуль, операции с нулем; числовой луч.
Десятичные дроби: понятие обыкновенной
дроби; сравнение обыкновенных дробей
с равными знаменате-
7
5 Класс
лями;
правильные и неправильные дроби;
сложение и вычитание дробей с равными
знаменателями; изображение десятичных
дробей на числовом луче; десятичные
дроби как частный случай обыкновенных
дробей; действия с десятичными
дробями. Понятие процента, решение
задач на проценты.
Делимость
натуральных чисел: делители и кратные
числа; признаки делимости чисел;
простые числа. Обыкновенные дроби:
обыкновенная дробь как частное от
деления; основное свойство дроби,
сокращение дробей; операции с
обыкновенными дробями, десятичные
приближения обыкновенных дробей.
Положительные
и отрицательные числа: числовая ось,
противоположные числа, сравнение чисел,
сложение, вычитание, умножение и деление
рациональных чисел.
класс
Продолжается
изучение действий с рациональными
числами. Понятие степени с натуральным
показателем.
класс
Простейшие
вычисления на микрокалькуляторе;
выполнение арифметических действий;
понятие рационального числа, свойства
чисел; округление чисел; стандартный
вид числа; Понятие арифметического
квадратного корня; действительные
числа: рациональные и иррациональные
числа.
класс
Степень
с рациональным показателем; числовая
последовательность, прогрессии.
класс
Дальнейшее
изучение множества действительных
чисел; бесконечная периодическая
десятичная дробь и непериодическая
десятичная дробь; понятие иррационального
числа и определение действительных
чисел.
класс
Комплексные
числа: понятие; сложение и умножение
комплексных чисел; модуль комплексного
числа; вычитание и деление комплексных
чисел; геометрическая интерпретация;
тригонометрическая форма комплексного
числа.
Современная
математика оперирует с различными по
природе числами: натуральными
(1, 2, 3, ...); целыми
(0, ±1, ±2, ±3, ...), включающими и все
натуральные; рациональными
(множество целых чисел, дополненное
множеством дробей); действительными
(множество всех рациональных и
иррациональных чисел); комплексными
(числа вида а
+ в/, где а
не-
любые действительные числа, i
-
мнимая единица); гиперкомплексными,
простейшим видом которых являются
кватернионы,
т.е. числа вида а
+ в/ + cj
+
dk,
где
а,
в, с,
d-
любые
действительные числа, a
i,j,
А:
- особые единицы и т.д.
Эти
классы чисел (как Вы знаете из алгебры)
являются примерами колец и полей. Z
-
кольцо
целых чисел, где всегда выполнимо
сложение, вычитание,
86 Класс
3. Различные пути расширения понятия числа
умножение,
но не всегда выполнимо деление (даже
если исключить деление на нуль); Q
-
поле
рациональных чисел, где вычитание и
деление выполнимо (кроме деления на
нуль). Числа и операции над ними изучаются
в таких математических дисциплинах,
как алгебра и теория чисел.
Проводя
в школьном курсе математики линию
развития понятия числа, необходимо
придерживаться принципа расширения
множества А
до множества В.
Этот
принцип определяется следующими
условиями:
А
должно быть подмножеством J3;
Все
операции, которые выполнимы в множестве
А,
определяются в множестве В
так, чтобы не противоречить правилам,
введенным в множестве А;
например,
при изучении натуральных чисел
рассматривалась операция умножения
натуральных чисел (8 • 3 = 24), которая
сводилась к сложению. Изучая дробные
числа, вводим операцию умножения
дробных чисел, которая носит уже другой
характер, но при этом смысл правила
умножения натуральных чисел не
теряется. Действительно:
8-.Ь^
= 8.3;
111-1
в
множестве В
выполнима операция, которая не выполнима
в множестве А;
Условие
3) определяет цель расширения. Например,
на множестве натуральных чисел не
всегда выполнима операция вычитания.
Расширением множества натуральных
чисел, которое удовлетворяет всем этим
условиям, является множество целых
чисел.
расширение
В
должно быть минимальным из всех
расширений данного множества А
и определяется множеством А
однозначно с точностью до изоморфизма.
Замечание:
Два множества называются изоморфными
относительно какой- либо операции, если
между их элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие
таким образом, что это соответствие
распространяется и на результаты
операции; например, сумме и произведению
произвольных двух элементов первого
множества будет соответствовать сумма
и произведение соответствующих
элементов второго множества. В таком
случае по соотношениям, имеющимся
в одном множестве, можно судить об
отношениях, которые существуют в другом,
изоморфном ему множестве. Поэтому в
высшей алгебре принято изоморфные
группы, кольца, поля считать тождественными.
Существуют
два пути расширения числа: логический
и исторический.
Логическая
схема расширения числа
Символически
эта схема выглядит так: N+0
с
Z
cQ cR.
Расширение
числа в действительности осуществлялось
по другой схеме.
9
Натураль |
|
Десятич |
|
Обыкно |
|
Отрица |
|
Рацио |
|
Действи |
ные числа |
|
ные |
; |
венные |
—* |
тельные |
• > |
нальные |
|
тельные |
и нуль |
|
дроби |
|
дроби |
|
числа |
|
числа |
|
числа |
В
пробных учебниках математики
содержались
в это время и другие ва-
10