рицательных чисел используются активно координатный луч и координатная прямая, при изучении свойств и законов действий - буквенная символика и т.д. Такая организация учебного материала способствует лучшему раскрытию со­держания изучаемых знаний и взаимосвязей между ними.

Понятие числа является стержневым понятием Школьного курса матема­тики и служит также фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений и т.п. Оно относится к основным понятиям математики. Это значит, что нельзя ответить на вопрос «Что такое число?», используя ранее введенные понятия и отношения между ними. По ме­ре продвижения учащихся от 5 до 11 класса это понятие обогащается, расширя­ется в зависимости от роста сознания учащихся.

Нельзя ставить перед учащимися вопросы: «Что такое число?» или «Что называется числом?» Учащиеся должны получить представление о числе как об объекте арифметических операций. Объяснение учения о числе необходимо строить таким образом, чтобы была ясна связь понятий равенства, суммы и произведения, с одной стороны, и понятия числа, с другой. Нет понятия равен­ства, суммы, произведения без понятия числа, но нет также понятия числа без понятия равенства, суммы, произведения. Об этих четырех понятиях нельзя в школе говорить порознь. Они имеют смысл лишь в отношениях друг к другу. Числа обладают свойствами, которые мы выражаем в понятиях их равенства, суммы и произведения. Эволюция числа неразрывно связана с эволюцией поня­тия равенства, суммы и произведения. Развитие этих понятий и есть эволюция понятия числа. Мы меняем условия равенства, суммы и Произведения и полу­чаем новые числа. Первично не число, а понятия равенства, суммы, произведе­ния. Однако число не вторично.

Таким образом, для того чтобы новые числа были равноправными, необ­ходимо введение определения:

1. 1) Понятия равенства;

2) Понятия «больше», «меньше».

2. Понятия суммы;

3. Понятия произведения.

Надо показать также, что новые числа подчиняются всем законам ариф­метических действий установленных раньше чисел. В теоретических курсах понятия I - III вводятся путем определений, в школьном курсе математики не­обходимо показать целесообразность вводимых определений путем рассмотре­ния конкретных примеров.

Учение о числе пронизывает весь курс школьной математики, начиная с пятого и кончая одиннадцатым классом, и распределяется по годам обучения следующим образом:

5 Класс

Натуральные числа: чтение и запись натуральных чисел; сравнение нату­ральных чисел; округление натуральных чисел; действия: сложение, вычита­ние, умножение, деление; законы арифметических действий.

Число нуль, операции с нулем; числовой луч. Десятичные дроби: понятие обыкновенной дроби; сравнение обыкновенных дробей с равными знаменате-

7

лями; правильные и неправильные дроби; сложение и вычитание дробей с рав­ными знаменателями; изображение десятичных дробей на числовом луче; деся­тичные дроби как частный случай обыкновенных дробей; действия с десятич­ными дробями. Понятие процента, решение задач на проценты.

6 Класс

Делимость натуральных чисел: делители и кратные числа; признаки дели­мости чисел; простые числа. Обыкновенные дроби: обыкновенная дробь как част­ное от деления; основное свойство дроби, сокращение дробей; операции с обык­новенными дробями, десятичные приближения обыкновенных дробей.

Положительные и отрицательные числа: числовая ось, противоположные числа, сравнение чисел, сложение, вычитание, умножение и деление рацио­нальных чисел.

7. класс

Продолжается изучение действий с рациональными числами. Понятие степени с натуральным показателем.

7. класс

Простейшие вычисления на микрокалькуляторе; выполнение арифмети­ческих действий; понятие рационального числа, свойства чисел; округление чи­сел; стандартный вид числа; Понятие арифметического квадратного корня; дей­ствительные числа: рациональные и иррациональные числа.

7. класс

Степень с рациональным показателем; числовая последовательность, прогрессии.

7. класс

Дальнейшее изучение множества действительных чисел; бесконечная пе­риодическая десятичная дробь и непериодическая десятичная дробь; понятие иррационального числа и определение действительных чисел.

7. класс

Комплексные числа: понятие; сложение и умножение комплексных чисел; модуль комплексного числа; вычитание и деление комплексных чи­сел; геометрическая интерпретация; тригонометрическая форма комплекс­ного числа.

3. Различные пути расширения понятия числа

Современная математика оперирует с различными по природе числами: натуральными (1, 2, 3, ...); целыми (0, ±1, ±2, ±3, ...), включающими и все на­туральные; рациональными (множество целых чисел, дополненное множест­вом дробей); действительными (множество всех рациональных и иррацио­нальных чисел); комплексными (числа вида а + в/, где а не- любые действи­тельные числа, i - мнимая единица); гиперкомплексными, простейшим ви­дом которых являются кватернионы, т.е. числа вида а + в/ + cj + dk, где а, в, с, d- любые действительные числа, a i,j, А: - особые единицы и т.д.

Эти классы чисел (как Вы знаете из алгебры) являются примерами колец и полей. Z - кольцо целых чисел, где всегда выполнимо сложение, вычитание,

8

умножение, но не всегда выполнимо деление (даже если исключить деление на нуль); Q - поле рациональных чисел, где вычитание и деление выполнимо (кроме деления на нуль). Числа и операции над ними изучаются в таких мате­матических дисциплинах, как алгебра и теория чисел.

Проводя в школьном курсе математики линию развития понятия числа, не­обходимо придерживаться принципа расширения множества А до множества В. Этот принцип определяется следующими условиями:

1. А должно быть подмножеством J3;

2. Все операции, которые выполнимы в множестве А, определяются в множестве В так, чтобы не противоречить правилам, введенным в множестве А; например, при изучении натуральных чисел рассматривалась операция умно­жения натуральных чисел (8 • 3 = 24), которая сводилась к сложению. Изучая дробные числа, вводим операцию умножения дробных чисел, которая носит уже другой характер, но при этом смысл правила умножения натуральных чи­сел не теряется. Действительно:

⁸-.Ь^ = 8.3;

111-1

3. в множестве В выполнима операция, которая не выполнима в множестве А;

Условие 3) определяет цель расширения. Например, на множестве нату­ральных чисел не всегда выполнима операция вычитания. Расширением мно­жества натуральных чисел, которое удовлетворяет всем этим условиям, являет­ся множество целых чисел.

4. расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А и определяется множеством А однозначно с точностью до изо­морфизма.

Замечание: Два множества называются изоморфными относительно какой- либо операции, если между их элементами можно установить взаимно однознач­ное соответствие таким образом, что это соответствие распространяется и на ре­зультаты операции; например, сумме и произведению произвольных двух элемен­тов первого множества будет соответствовать сумма и произведение соответст­вующих элементов второго множества. В таком случае по соотношениям, имею­щимся в одном множестве, можно судить об отношениях, которые существуют в другом, изоморфном ему множестве. Поэтому в высшей алгебре принято изо­морфные группы, кольца, поля считать тождественными.

Существуют два пути расширения числа: логический и исторический.

Логическая схема расширения числа

Символически эта схема выглядит так: N₊₀ с Z cQ cR.

Расширение числа в действительности осуществлялось по другой схеме.

9

Натураль­		Десятич­		Обыкно­		Отрица­		Рацио­		Действи­
ные числа		ные	;	венные	—*	тельные	• >	нальные		тельные
и нуль		дроби		дроби		числа		числа		числа

В пробных учебниках математики содержались в это время и другие ва-

10